Zbir parametara u deljivom polinomu – prijemni ETF 2016.

PostPoslato: Petak, 14. Jun 2019, 10:44
od donaleksic
Prijemni ispit ETF - 27. jun 2016.
13. zadatak


Kaže ovako: Ako je polinom [inlmath]x^{2016}+x^{2015}-x^{2014}+ax^{2013}-bx^2+c[/inlmath] [inlmath]\left(a,b,c\in\mathbb{R}\right)[/inlmath] deljiv polinomom [inlmath]x^3-x[/inlmath], tada je [inlmath]4a^2+3b^2+8c^2[/inlmath] jednak: i rešenje je [inlmath]4[/inlmath].

Jedino što može je da se ide preko Bezuovog stava, jer su ogromni eksponenti. [inlmath]x^3-x[/inlmath] ima za korenove [inlmath]0[/inlmath], [inlmath]-1[/inlmath], i [inlmath]1[/inlmath]. Onda se dobije
[dispmath]P(0)=0=c\\
P(1)=0=1+a-b+c\\
P(-1)=0=-1-a-b+c[/dispmath] Posto je [inlmath]c=0[/inlmath], ostaje sistem sa dve nepoznate:
[dispmath]a+b=-1\\
a-b=-1[/dispmath] čija su resenja [inlmath]a=-1,\;b=0[/inlmath]. Kada se to uvrsti u [inlmath]4a^2+3b^2+8c^2[/inlmath], dobija se i naznačeno tačno rešenje [inlmath]4[/inlmath].