Stranica 1 od 2

Deljenje polinoma – prvi probni prijemni FON 2019.

PostPoslato: Subota, 22. Jun 2019, 22:43
od kaca10
Prvi probni prijemni ispit FON – 9. jun 2019.
5. zadatak


Neka su [inlmath]a[/inlmath], [inlmath]b[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath] vrednosti za koje je polinom [inlmath]P(x)=x^{2019}+ax^{501}−bx^3+c[/inlmath] deljiv polinomom [inlmath]x^2+2x+1[/inlmath], a pri deljenju sa [inlmath]x−1[/inlmath] daje ostatak [inlmath]316[/inlmath]. Tada je [inlmath](c−b)\cdot a^{−1}[/inlmath] jednako:
[inlmath]A)\;−32;\quad[/inlmath] [inlmath]B)\;45;\quad[/inlmath] [inlmath]C)\;80;\quad[/inlmath] [inlmath]\enclose{circle}{D)}\;−64;\quad[/inlmath] [inlmath]E)\;14;\qquad[/inlmath] [inlmath]N)\;\text{Ne znam.}[/inlmath]

Polinom [inlmath]P[/inlmath] je deljiv sa [inlmath]x^2+2x+1[/inlmath] tj. [inlmath](x+1)^2[/inlmath] što znači da treba ubaciti [inlmath]-1[/inlmath] u jednačinu. Kada se to uradi dobije se:
[dispmath]P(-1)=(-1)^{2019}+a\cdot(-1)^{501}-b (-1)^3+c=0\\
P(-1)=-1-a+b+c=0\\
P(-1)=-a+b+c=1\\
b=1+a-c[/dispmath] Nakon toga radim izvod:
[dispmath]P'(x)=2019x^{2018}+501ax^{500}-3bx^2=0\\
P'(-1)=2019+501a-3b=0\\
501a-3b=-2019[/dispmath] Delim sa [inlmath]3[/inlmath] i dobijam:
[dispmath]167a-b=-673[/dispmath] Dalje izjednacavam brojeve sa ostatkom kada je polinom [inlmath]P[/inlmath] deljiv sa [inlmath]x-1[/inlmath]:
[dispmath]P(1)=1+a-b+c=316\\
a-b+c=315\\
a+c=315+b[/dispmath] Iz prvog dela pišem jednačinu [inlmath]b=1+a-c[/inlmath] tako da je dalje:
[dispmath]a+c=315+1+a-c\\
2c=316\\
c=158[/dispmath] Ubacujem to u 3. deo:
[dispmath]a-b+c=315\\
a-b=315-158=157\\
b=a-157[/dispmath] Iz drugog dela imam da je
[dispmath]167a-b=-673[/dispmath] tj.
[dispmath]b=167a+673\\
a-157=167a+673\\
166a=-830\\
a=-5[/dispmath] Iz početne jednačine stoji da je:
[dispmath]-a+b+c=1\\
5+158+b=1\\
b=-162[/dispmath] E sad kada se to ubaci u traženi izraz dobija se:
[dispmath](c−b)\cdot a^{−1}=\\
\bigl(158-(-162)\bigr)\cdot\left(-\frac{1}{5}\right)=-\frac{320}{5}=-64[/dispmath] Greška je nađena u toku ovog pisanja tako da se nadam da će nekom značiti. :D

Re: Deljenje polinoma – prvi probni prijemni FON 2019.

PostPoslato: Nedelja, 23. Jun 2019, 00:08
od Daniel
Hvala za ovaj postupak (moglo je i nešto kraće, ali to je otprilike to). Imao bih samo primedbu na crveno obeleženi korak,
kaca10 je napisao:[dispmath]P(-1)=(-1)^{2019}+a\cdot(-1)^{501}-b (-1)^3+c=0\\
P(-1)=-1-a+b+c=0\\
\color{red}{P(-1)=-a+b+c=1}\\
b=1+a-c[/dispmath]

Ovo se ne sme tako pisati, jer bi to značilo da je [inlmath]P(-1)=1[/inlmath], što nije tačno (jer se i iz prethodnog koraka vidi da je [inlmath]P(-1)=0[/inlmath]).
Da je crveno obeležen korak zapisan samo kao [inlmath]-a+b+c=1[/inlmath], tj. bez [inlmath]P(-1)[/inlmath], to bi bilo u redu.

Korigovao sam Latex. [inlmath]a^{-1}[/inlmath] se u Latexu ne piše kao a-1, već kao a^{-1}.

Re: Deljenje polinoma – prvi probni prijemni FON 2019.

PostPoslato: Nedelja, 23. Jun 2019, 00:46
od kaca10
Nema na čemu i hvala za ispravku, možda i bolje da pišem odvojeno da ne bi došlo da zabune. Još se učim što se tiče Latexa. :wink2:

Re: Deljenje polinoma – prvi probni prijemni FON 2019.

PostPoslato: Sreda, 08. April 2020, 17:43
od DarkMaster
:D Zasto trazimo prvi izvod i kad ga odredimo zasto bas umesto [inlmath]x[/inlmath] menjamo [inlmath]-1[/inlmath]?

Re: Deljenje polinoma – prvi probni prijemni FON 2019.

PostPoslato: Sreda, 08. April 2020, 18:23
od miletrans
Ovde koristimo dve stvari:

Ako je [inlmath]a[/inlmath] nula polinoma [inlmath]P(x)[/inlmath], tada je polinom [inlmath]P(x)[/inlmath] deljiv sa [inlmath](x-a)[/inlmath]. U ovom slučaju [inlmath]a=-1[/inlmath].

Ako je [inlmath]a[/inlmath] [inlmath]n[/inlmath]-tostruka nula polinoma [inlmath]P(x)[/inlmath], tada je [inlmath]a[/inlmath] nula svih izvoda polinoma [inlmath]P(x)[/inlmath] do [inlmath](n-1).[/inlmath] izvoda, uključujuči i [inlmath](n-1).[/inlmath] izvod. Početak prethodne rečenice može da se pročita i kao "Ako je polinom [inlmath]P(x)[/inlmath] deljiv sa [inlmath](x-a)^n[/inlmath]...". U ovom slučaju je [inlmath]n=2[/inlmath].

Re: Deljenje polinoma – prvi probni prijemni FON 2019.

PostPoslato: Četvrtak, 09. April 2020, 02:33
od Daniel
@DarkMaster, preporučujem i da još pročitaš ovo, ovo i ovo objašnjenje.

Re: Deljenje polinoma – prvi probni prijemni FON 2019.

PostPoslato: Petak, 10. April 2020, 02:24
od DarkMaster
Znaci recimo da smo imali da je neki polinom deljiv sa [inlmath](x-1)^3[/inlmath], onda to znaci da je [inlmath]1[/inlmath] trostruka nula, i onda bismo mogli da radimo prvi izvod gde bi jedinica bila dvostruka nula, i mogli bismo i drugi izvod gde je jednostruka?

Re: Deljenje polinoma – prvi probni prijemni FON 2019.

PostPoslato: Petak, 10. April 2020, 02:33
od miletrans
Tako je. U jednoj od tema koje je linkovao Daniel imaš i formalan dokaz za deljivost izvoda polinoma višestrukim nulama.

Zamolio bih te da obratiš pažnju na LaTex.

Re: Deljenje polinoma – prvi probni prijemni FON 2019.

PostPoslato: Petak, 10. April 2020, 02:46
od DarkMaster
Video sam sva objasnjenja. Hvala puno, sad je jasno. Sledeci put cu obratiti paznju na Latex.

Neka su a, b i c vrednosti za polinom FON 1. probni 2019.

PostPoslato: Petak, 26. Maj 2023, 19:01
od DaniloJ
* MOD EDIT * Spojene dve teme s istim zadatkom

Neka su [inlmath]a[/inlmath], [inlmath]b[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath] vrednosti za koje je polinom [inlmath]P(x)=x^{2019}+a\cdot x^{501}−b\cdot x^3+c[/inlmath] deljiv polinomom [inlmath]x^2+2x+1[/inlmath], a pri deljenju sa [inlmath]x−1[/inlmath] daje ostatak [inlmath]316[/inlmath]. Tada je [inlmath](c−b)\cdot a^{−1}=?[/inlmath]

Ovako sam postavio zadatak ali ne znam kako da nadjem jednacine za sistem.
[dispmath]P(0)=c,\;Q_1(x)=x^2+2x+1,\;O_1(x)=0,\;Q_2(x)=x−1,\;O_2(x)=316[/dispmath] Nakon malo razmisljanja nalazim da je nula za
[dispmath]x^2+2x+1,\;x_1=-1[/dispmath] Nisam siguran da li bih [inlmath](-1)[/inlmath] mogao da zamenim umesto [inlmath]x[/inlmath] i dobijem [inlmath]P(-1)=(-1)-a+b[/inlmath]??