Stranica 1 od 1

Faktorisanje polinoma nad poljem kompleksnih brojeva

PostPoslato: Petak, 04. Oktobar 2019, 18:01
od dualstab
Pozdrav, da li bi neko mogao da mi objasni kako bi se resio ovaj zadatak?

Neka je polinom [inlmath]P[/inlmath] nad poljem kompleksnih brojeva definisan sa
[dispmath]P(x)=x^8+x^6+x^4+x^2+1[/dispmath] Faktorisati polinom [inlmath]P[/inlmath] nad poljem kompleksnih brojeva i nad poljem realnih brojeva.

Re: Faktorisanje polinoma nad poljem kompleksnih brojeva

PostPoslato: Petak, 04. Oktobar 2019, 20:59
od Corba248
Očigledno je da je za svako [inlmath]x\in\mathbb{R}[/inlmath] ovaj polinom veći od nule, tako da on nad poljem realnih brojeva nije rastavljiv.
Što se tiče faktorizacije nad poljem kompleksnih brojeva, kako ovaj polinom ima samo realne koeficijente to on može imati samo konjugovano kompleksne korene. Ja bih ovde uveo smenu [inlmath]t=x^2[/inlmath]. Onda pomnožio jednačinu sa [inlmath]\frac{1}{x^2}[/inlmath] i uveo novu smenu [inlmath]u=t+\frac{1}{t}[/inlmath]. Trebalo bi da se dobije jednačina [inlmath]u^2+u-1=0[/inlmath].

P. S. Moguće je da sam negde pogrešio u računu, zaista ne vidim svrhu ovog zadatka, pošto se pretežno svodi na preobiman račun.

Re: Faktorisanje polinoma nad poljem kompleksnih brojeva

PostPoslato: Petak, 04. Oktobar 2019, 23:20
od Daniel
Ja bih ovde, nakon pomenute smene [inlmath]x^2=t[/inlmath], uočio da dobijeni izraz [inlmath]t^4+t^3+t^2+t+1[/inlmath] predstavlja faktor u razlaganju polinoma [inlmath]t^5-1[/inlmath], tj. može se napisati kao
[dispmath]\frac{t^5-1}{t-1}[/dispmath] ili, posle vraćanja smene,
[dispmath]\frac{x^{10}-1}{(x-1)(x+1)}[/dispmath] Pošto ni [inlmath]x=-1[/inlmath] ni [inlmath]x=1[/inlmath] nisu nule polinoma [inlmath]P(x)[/inlmath], to će nule polinoma [inlmath]P(x)[/inlmath] biti jednake onim nulama izraza [inlmath]x^{10}-1[/inlmath] koje nisu [inlmath]-1[/inlmath] ili [inlmath]1[/inlmath].
Prema tome, rešavanjem kompleksne jednačine [inlmath]x^{10}=e^{i2k\pi}[/inlmath], gde [inlmath]x\ne\pm1[/inlmath], dobijamo kompleksne nule polinoma [inlmath]P(x)[/inlmath].
Pošto smo našli kompleksne nule i nakon što [inlmath]P(x)[/inlmath] napišemo u faktorisanom obliku, grupisanjem i množenjem faktora s konjugovano-kompleksnim nulama dobijamo da se [inlmath]P(x)[/inlmath] ipak može faktorisati i nad poljem realnih brojeva (štaviše, svi polinomi trećeg ili višeg stepena mogu se faktorisati nad poljem realnih brojeva):
[dispmath]P(x)=\left(x^2-2\cos\frac{\pi}{5}\cdot x+1\right)\left(x^2+2\cos\frac{\pi}{5}\cdot x+1\right)\left(x^2-2\cos\frac{2\pi}{5}\cdot x+1\right)\left(x^2+2\cos\frac{2\pi}{5}\cdot x+1\right)[/dispmath]

Re: Faktorisanje polinoma nad poljem kompleksnih brojeva

PostPoslato: Subota, 05. Oktobar 2019, 09:28
od primus
Faktorisanje polinoma [inlmath]P(x)[/inlmath] nad poljem realnih brojeva:
[dispmath]x^8+x^6+x^4+x^2+1=\\
x^8+2x^6-x^6+3x^4-2x^4+2x^2-x^2+1=\\
x^8+2x^6+3x^4+2x^2+1-\left(x^6+2x^4+x^2\right)=\\
x^8+2x^6+x^4+2x^4+2x^2+1-\left(x^6+2x^4+x^2\right)=\\
\left(x^4+x^2\right)^2+2\left(x^4+x^2\right)+1-\left(x^6+2x^4+x^2\right)=\\
\left(x^4+x^2+1\right)^2-\left(x^3+x\right)^2=\\
\left(x^4-x^3+x^2-x+1\right)\left(x^4+x^3+x^2+x+1\right)[/dispmath]

Re: Faktorisanje polinoma nad poljem kompleksnih brojeva

PostPoslato: Subota, 05. Oktobar 2019, 14:41
od Daniel
Postupak jeste zanimljiv, ali njime se ne postiže potpuna faktorizacija polinoma, budući da se oba dobijena faktora mogu nad poljem realnih brojeva dalje rastaviti, svaki na proizvod dva polinoma drugog stepena.

Uopšteno, svaki polinom trećeg ili višeg stepena može se nad poljem realnih brojeva rastaviti na proizvod polinoma prvog i drugog stepena (pri čemu faktori drugog stepena nemaju realne nule).