Stranica 1 od 1

Proizvod svih vrednosti realnog parametra a za koje je polinom P(x) deljiv polinomom Q(x)

PostPoslato: Petak, 14. Avgust 2020, 00:36
od ognjentesic
Neka je [inlmath]A[/inlmath] skup svih vrednosti realnog parametra [inlmath]a[/inlmath] za koje je polinom [inlmath]P(x)=x^3+(a-1)x^2-\left(2a^2+a\right)x+2a^2[/inlmath] deljiv polinomom [inlmath]Q(x)=x^2-3x+2[/inlmath]. Koliko iznosi proizvod svih elemenata skupa [inlmath]A[/inlmath]?
Tačan odgovor: [inlmath]-2[/inlmath].
Pretpostavljam da je početak [inlmath]Q(x)=(x-1)(x-2)[/inlmath] i da je [inlmath]Q(1)=0[/inlmath] i [inlmath]Q(2)=0[/inlmath]. Ne znam šta dalje. Da li to treba uvrstiti u [inlmath]P(x)[/inlmath] pa proveriti deljivost ili je ipak nešto drugačije?

Re: Proizvod svih vrednosti realnog parametra a za koje je polinom P(x) deljiv polinomom Q(x)

PostPoslato: Petak, 14. Avgust 2020, 00:44
od miletrans
Ja bih podelio polinom [inlmath]P(x)[/inlmath] polinomom [inlmath]Q(x)[/inlmath] i onda izjednačio ostatak sa nulom.

Re: Proizvod svih vrednosti realnog parametra a za koje je polinom P(x) deljiv polinomom Q(x)

PostPoslato: Petak, 14. Avgust 2020, 06:05
od primus
ognjentesic je napisao:Pretpostavljam da je početak [inlmath]Q(x)=(x-1)(x-2)[/inlmath] i da je [inlmath]Q(1)=0[/inlmath] i [inlmath]Q(2)=0[/inlmath]. Ne znam šta dalje. Da li to treba uvrstiti u [inlmath]P(x)[/inlmath] pa proveriti deljivost ili je ipak nešto drugačije?

Dobro si krenuo. Da bi polinom [inlmath]P(x)[/inlmath] bio deljiv polinomom [inlmath]Q(x)[/inlmath] potrebno je da istovremeno važi [inlmath]P(1)=0[/inlmath] i [inlmath]P(2)=0[/inlmath]. Prva jednačina daje jednakost [inlmath]0=0[/inlmath], a druga [inlmath]-a^2+a+2=0[/inlmath]. Naravno zadatak je moguće rešiti i ovako kako ti je miletrans pokazao.

Re: Proizvod svih vrednosti realnog parametra a za koje je polinom P(x) deljiv polinomom Q(x)

PostPoslato: Petak, 14. Avgust 2020, 08:39
od Srdjan01
[dispmath]\frac{x^3+(a-1)x^2-\left(2a^2+a\right)x+2a^2}{x^2-3x+2}\\
\frac{x^3+ax^2-x^2-\left(2a^2x+ax\right)+2a^2}{x^2-x-2x+2}\\
\frac{x^3+ax^2-x^2-2a^2x-ax+2a^2}{x(x-1)-2(x-1)}\\
\frac{x\left(x^2+ax-2a^2\right)-\left(x^2+ax-2a^2\right)}{(x-1)(x-2)}\\
\frac{\left(x^2+ax-2a^2\right)\cancel{(x-1)}}{\cancel{(x-1)}(x-2)}\\
\frac{x^2+ax-2a^2}{x-2}[/dispmath] Dijeljenjem: [inlmath]\left(x^2+ax-2a^2\right):(x-2)[/inlmath] dobijamo ostatak, koji izjednacavamo sa nulom [inlmath]2a+4=0\;\to\;\enclose{box}{a=-2}[/inlmath]
Ovo je nacin koji je miletrans naveo.

Re: Proizvod svih vrednosti realnog parametra a za koje je polinom P(x) deljiv polinomom Q(x)

PostPoslato: Petak, 14. Avgust 2020, 09:49
od Daniel
primus je napisao:Da bi polinom [inlmath]P(x)[/inlmath] bio deljiv polinomom [inlmath]Q(x)[/inlmath] potrebno je da istovremeno važi [inlmath]P(1)=0[/inlmath] i [inlmath]P(2)=0[/inlmath].

Samo da napomenem da ovo sledi iz Bezuovog stava. Imali smo dosad u „Polinomima“ dosta zadataka s deljivošću polinoma u kojima je isti bio primenjen.

Srdjan01 je napisao:Dijeljenjem: [inlmath]\left(x^2+ax-2a^2\right):(x-2)[/inlmath] dobijamo ostatak, koji izjednacavamo sa nulom [inlmath]2a+4=0\;\to\;\enclose{box}{a=-2}[/inlmath]

Ne vidim kako si dobio [inlmath]2a+4=0[/inlmath], treba da se dobije [inlmath]-a^2+a+2=0[/inlmath] (što je i primus dobio kao drugu jednačinu).

Re: Proizvod svih vrednosti realnog parametra a za koje je polinom P(x) deljiv polinomom Q(x)

PostPoslato: Petak, 14. Avgust 2020, 10:02
od Srdjan01
Da, u pravu si! Nekako mi se "potkrala" greška :facepalm:
Dobije se [inlmath]-a^2+a+2=0[/inlmath]
Hvala! :)