vlsim je napisao:tako da mu je broj (koren iz 2i) nula
Malo je nejasno da li je ovo [inlmath]\sqrt2\:i[/inlmath] ili [inlmath]\sqrt{2i}[/inlmath], ali pretpostaviću da je [inlmath]\sqrt2\:i[/inlmath].
Polinom četvrtog stepena s realnim koeficijentima ima četiri nule, pri čemu, ako su neke od tih nula kompleksne, one moraju biti konjugovani parovi.
Zato, pošto je ovde dato da je [inlmath]\sqrt 2\:i[/inlmath] jedna nula, samim tim znamo da nula mora biti i njen konjugovan par, [inlmath]-\sqrt2\:i[/inlmath].
Polinom četvrtog stepena možemo napisati u obliku
[dispmath]P\left(x\right)=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)\left(x-x_3\right)\left(x-x_4\right)[/dispmath]
gde su [inlmath]x_1[/inlmath], [inlmath]x_2[/inlmath], [inlmath]x_3[/inlmath] i [inlmath]x_4[/inlmath] njegove nule.
Tri nule su nam poznate:
[inlmath]x_1=\sqrt2\:i[/inlmath]
[inlmath]x_2=-\sqrt2\:i[/inlmath]
[inlmath]x_3=1[/inlmath]
a četvrtu nulu, [inlmath]x_4[/inlmath], koja nam je nepoznata, obeležićemo sa [inlmath]b[/inlmath], tako da dobijamo polinom oblika:
[dispmath]P\left(x\right)=a\underbrace{\left(x-\sqrt2\:i\right)\left(x+\sqrt2\:i\right)}_{\left(x^2+2\right)}\left(x-1\right)\left(x-b\right)[/dispmath][dispmath]P\left(x\right)=a\left(x^2+2\right)\left(x-1\right)\left(x-b\right)[/dispmath]
Prema Bezuovoj teoremi, ostatak polinoma [inlmath]P\left(x\right)[/inlmath] pri deljenju binomom [inlmath]\left(x-p\right)[/inlmath], jednak je: [inlmath]r\left(p\right)=P\left(p\right)[/inlmath]:
[inlmath]P\left(x\right)[/inlmath] pri deljenju sa [inlmath]x[/inlmath] daje ostatak [inlmath]2[/inlmath]:
[inlmath]r\left(0\right)=P\left(0\right)=a\underbrace{\left(0^2+2\right)}_2\underbrace{\left(0-1\right)}_{-1}\underbrace{\left(0-b\right)}_{-b}=2ab=2\quad\left(1\right)[/inlmath]
[inlmath]P\left(x\right)[/inlmath] pri deljenju sa [inlmath]x+1[/inlmath] daje ostatak [inlmath]12[/inlmath]:
[inlmath]r\left(-1\right)=P\left(-1\right)=a\underbrace{\left[\left(-1\right)^2+2\right]}_3\underbrace{\left(-1-1\right)}_{-2}\left(-1-b\right)=6a\left(b+1\right)=12\quad\left(2\right)[/inlmath]
Podelimo [inlmath]\left(2\right)[/inlmath] sa [inlmath]\left(1\right)[/inlmath]:
[dispmath]\frac{\cancel6\cancel a\left(b+1\right)}{2\cancel ab}=\cancel6\quad\Rightarrow\quad b+1=2b\quad\Rightarrow\quad\underline{b=1}[/dispmath][dispmath]2ab=2\quad\Rightarrow\quad a=\frac{1}{b}\quad\Rightarrow\quad\underline{a=1}[/dispmath]
pa dobijamo da je traženi polinom jednak
[dispmath]P\left(x\right)=\left(x^2+2\right)\left(x-1\right)\left(x-1\right)[/dispmath]
ili, kad se izmnoži,
[dispmath]P\left(x\right)=\left(x^2+2\right)\left(x^2-2x+1\right)[/dispmath][dispmath]\underline{P\left(x\right)=x^4-2x^3+3x^2-4x+2}[/dispmath]
Provera:[inlmath]\underline{x=\sqrt2\:i:}[/inlmath]
[inlmath]P\left(\sqrt2\:i\right)=\left(\sqrt2\:i\right)^4-2\left(\sqrt2\:i\right)^3+3\left(\sqrt2\:i\right)^2-4\sqrt2\:i+2[/inlmath]
[inlmath]P\left(\sqrt2\:i\right)=4i^4-2\left(\sqrt2\right)^3i^3+3\left(\sqrt2\right)^2i^2-4\sqrt2\:i+2[/inlmath]
[inlmath]P\left(\sqrt2\:i\right)=4-2\cdot2\sqrt2\left(-i\right)-3\cdot2-4\sqrt2\:i+2[/inlmath]
[inlmath]P\left(\sqrt2\:i\right)=4+\cancel{4\sqrt2\:i}-6-\cancel{4\sqrt2\:i}+2[/inlmath]
[inlmath]P\left(\sqrt2\:i\right)=0\quad[/inlmath]
[inlmath]\underline{x=1:}[/inlmath]
[inlmath]P\left(1\right)=1^4-2\cdot1^3+3\cdot1^2-4\cdot1+2[/inlmath]
[inlmath]P\left(1\right)=1-2+3-4+2[/inlmath]
[inlmath]P\left(1\right)=0\quad[/inlmath]
[inlmath]\underline{P\left(x\right):x}[/inlmath]
[inlmath]\left(x^4-2x^3+3x^2-4x+2\right):x=\left[x\left(x^3-2x^2+3x-4\right)+2\right]:x=x^3-2x^2+3x-4\quad[/inlmath]i ostatak je [inlmath]2[/inlmath] (očigledno je)
[inlmath]\underline{P\left(x\right):\left(x+1\right)}[/inlmath]
[inlmath]\left(x^4-2x^3+3x^2-4x+2\right):\left(x+1\right)=x^3-3x^2+6x-10[/inlmath]
[inlmath]\phantom{(}\underline{x^4+x^3}[/inlmath]
[inlmath]\phantom{(x^4}-3x^3+3x^2-4x+2[/inlmath]
[inlmath]\phantom{(x^4}\underline{-3x^3-3x^2}[/inlmath]
[inlmath]\phantom{(x^4-3x^3-}6x^2-4x+2[/inlmath]
[inlmath]\phantom{(x^4-3x^3-}\underline{6x^2+6x}[/inlmath]
[inlmath]\phantom{(x^4-3x^3-6x}-10x+2[/inlmath]
[inlmath]\phantom{(x^4-3x^3-6x}\underline{-10x-10}[/inlmath]
[inlmath]\phantom{(x^4-3x^3-6x-10x-}12\quad[/inlmath]