Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA POLINOMI

Ostatak pri deljenju polinoma

[inlmath]P\left(x\right)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_2x^2+a_1x+a_0[/inlmath]

Ostatak pri deljenju polinoma

Postod _Mita » Petak, 31. Januar 2014, 22:35

Evo jednog slicnog. Trazi se ostatak pri deljenju
[dispmath]P(x)=x^{2m}-2x^{2m-1}+x-1[/dispmath]
i
[dispmath]Q(x)=x^3-2x^2-x+2[/dispmath]
Faktorisem [inlmath]Q(x)[/inlmath] i kako onda da primenim Bezuovu?
Korisnikov avatar
_Mita  OFFLINE
 
Postovi: 116
Lokacija: Kragujevac
Zahvalio se: 46 puta
Pohvaljen: 37 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Ostatak pri deljenju polinoma

Postod Daniel » Subota, 01. Februar 2014, 09:42

Baš i nije mnogo sličan, pa će u posebnu temu. :)

Da, faktorišeš [inlmath]Q\left(x\right)[/inlmath] i dobiješ [inlmath]Q\left(x\right)=\left(x+1\right)\left(x-1\right)\left(x-2\right)[/inlmath].

Ono što znaš, to je da ostatak [inlmath]R\left(x\right)[/inlmath] predstavlja polinom koji je manjeg stepena od stepena polinoma delioca. Pošto je ovde polinom delilac [inlmath]3.[/inlmath] stepena, ostatak će biti polinom najviše [inlmath]2.[/inlmath] stepena: [inlmath]R\left(x\right)=ax^2+bx+c[/inlmath]

Vezu između [inlmath]P\left(x\right)[/inlmath], [inlmath]Q\left(x\right)[/inlmath] i [inlmath]R\left(x\right)[/inlmath], u opštem slučaju, možemo predstaviti na sledeći način:
[dispmath]P\left(x\right)=G\left(x\right)Q\left(x\right)+R\left(x\right)[/dispmath]
gde [inlmath]G\left(x\right)[/inlmath] predstavlja količnik polinoma [inlmath]P\left(x\right)[/inlmath] i [inlmath]Q\left(x\right)[/inlmath], čiji je stepen jednak razlici stepena polinoma [inlmath]P\left(x\right)[/inlmath] i [inlmath]Q\left(x\right)[/inlmath] pod uslovom da je [inlmath]\text{st}\left(P\left(x\right)\right)\ge\text{st}\left(Q\left(x\right)\right)[/inlmath].

Uvrštavanjem faktorisanog [inlmath]Q\left(x\right)[/inlmath], ova veza postaje:
[dispmath]P\left(x\right)=G\left(x\right)\left(x+1\right)\left(x-1\right)\left(x-2\right)+R\left(x\right)[/dispmath]
Kada u ovu jednakost uvrstimo bilo koju od nula polinoma [inlmath]Q\left(x\right)[/inlmath], a to su vrednosti [inlmath]-1[/inlmath], [inlmath]1[/inlmath] i [inlmath]2[/inlmath], sabirak [inlmath]G\left(x\right)\left(x+1\right)\left(x-1\right)\left(x-2\right)[/inlmath] će biti jednak nuli, pa jednakost postaje:
[dispmath]P\left(x\right)=R\left(x\right),\quad x\in\left\{-1,1,2\right\}[/dispmath]
Iz ovoga možemo dobiti sistem od tri jednačine s tri nepoznate:
[dispmath]P\left(2\right)=R\left(2\right)=a\cdot 2^2+b\cdot 2+c=4a+2b+c[/dispmath]
[dispmath]P\left(1\right)=R\left(1\right)=a+b+c[/dispmath]
[dispmath]P\left(-1\right)=R\left(-1\right)=a-b+c[/dispmath]
pri čemu [inlmath]P\left(2\right)[/inlmath], [inlmath]P\left(1\right)[/inlmath] i [inlmath]P\left(-1\right)[/inlmath] odrediš tako što odgovarajuću vrednost uvrstiš umesto [inlmath]x[/inlmath] u zadati izraz, [inlmath]P\left(x\right)=x^{2m}-2x^{2m-1}+x-1[/inlmath].

Rešiš ovaj sistem po [inlmath]a[/inlmath], [inlmath]b[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath], a pošto su to upravo koeficijenti polinoma [inlmath]R\left(x\right)[/inlmath], njihovim rešavanjem si odredio koliki je ostatak.

Treba na kraju da dobiješ [inlmath]R\left(x\right)=x^2-x-1[/inlmath], tj. ostatak ne zavisi od parametra [inlmath]m[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Ostatak pri deljenju polinoma

Postod _Mita » Subota, 01. Februar 2014, 14:28

Kad ne znas onda sve lici :-D Hvala na pomoci ;-)
Korisnikov avatar
_Mita  OFFLINE
 
Postovi: 116
Lokacija: Kragujevac
Zahvalio se: 46 puta
Pohvaljen: 37 puta


Povratak na POLINOMI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 35 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 17:51 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs