Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI GEOMETRIJA

Poučci o trokutu

[inlmath]\triangle ABC\sim\triangle A'B'C'[/inlmath]

Moderator: Corba248

Poučci o trokutu

Postod bounty » Nedelja, 26. Novembar 2017, 21:17

Pozdrav,
može li mi netko pomoći sa sljedećim zadatkom:
Kolika je površina trokuta [inlmath]ABC[/inlmath] ako je [inlmath]\alpha=50^\circ12'[/inlmath], [inlmath]\beta=74^\circ35'[/inlmath], a duljina polumjera upisane kruznice iznosi [inlmath]2.5\text{ cm}[/inlmath].
U rješenjima se navodi formula
[dispmath]P=r\cdot\text{ctg }\frac{\alpha}{2}\cdot\text{ctg }\frac{\beta}{2}\cdot\text{ctg }\frac{\gamma}{2},[/dispmath] da li mi netko može reči ili dati samo hint kako se do nje došlo?

p.s. ne znam kako se pišu minute u latexu, pa sam stavila stupnjeve - ali to su minute:)
Poslednji put menjao Daniel dana Sreda, 29. Novembar 2017, 02:11, izmenjena samo jedanput
Razlog: Korekcija Latexa (minuti za uglove)
bounty  OFFLINE
 
Postovi: 6
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Poučci o trokutu

Postod bobanex » Nedelja, 26. Novembar 2017, 23:54

Ima tu posla ali pokušaj da nacrtaš skicu i dođeš do prve tri formule, druge dve već znaš. Posle pokušaj da dođeš do poslednje formule.
[dispmath]\text{ctg }\frac{\alpha}{2}=\frac{s-a}{r}\\
\text{ctg }\frac{\beta}{2}=\frac{s-b}{r}\\
\text{ctg }\frac{\gamma}{2}=\frac{s-c}{r}\\
P=rs\\
P=\sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}\\
\vdots\\
P=r^2\text{ ctg }\frac{\alpha}{2}\text{ ctg }\frac{\beta}{2}\text{ ctg }\frac{\gamma}{2}[/dispmath]
Korisnikov avatar
bobanex  OFFLINE
 
Postovi: 388
Lokacija: Požarevac
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 382 puta

Re: Poučci o trokutu

Postod Daniel » Sreda, 29. Novembar 2017, 02:14

bounty je napisao:U rješenjima se navodi formula
[dispmath]P=r\cdot\text{ctg }\frac{\alpha}{2}\cdot\text{ctg }\frac{\beta}{2}\cdot\text{ctg }\frac{\gamma}{2},[/dispmath]

Odmah se može videti da ova formula ne valja, jer se dimenziono ne poklapaju leva i desna strana. Leva strana ([inlmath]P[/inlmath]) ima dimenziju kvadrata dužine, dok desna strana ima dimenziju dužine. Potrebno je da na desnoj strani [inlmath]r[/inlmath] bude dignuto na kvadrat.

Mislim da bi sledeći način bio malo jednostavniji od bobanexovog:

upisana kruznica.png
upisana kruznica.png (1.71 KiB) Pogledano 22 puta

Može se uočiti da je obim trougla jednak [inlmath]O=AR+BR+BP+CP+CQ+AQ[/inlmath], a kako je [inlmath]AR=AQ[/inlmath], [inlmath]BP=BR[/inlmath] i [inlmath]CQ=CP[/inlmath], to je poluobim jednak
[dispmath]s=\frac{O}{2}=AR+BP+CQ\tag1[/dispmath] Pri tome je
[dispmath]\text{ctg }\frac{\alpha}{2}=\frac{AR}{r}\quad\Longrightarrow\quad AR=r\text{ ctg }\frac{\alpha}{2}\tag2[/dispmath] Na sličan način se pokazuje i da je
[dispmath]BP=r\text{ ctg }\frac{\beta}{2}\tag3[/dispmath][dispmath]CQ=r\text{ ctg }\frac{\gamma}{2}\tag4[/dispmath] Uvrštavanjem [inlmath](2)[/inlmath], [inlmath](3)[/inlmath] i [inlmath](4)[/inlmath] u [inlmath](1)[/inlmath], a nakon toga uvrštavajući dobijeni izraz za [inlmath]s[/inlmath] u formulu za površinu [inlmath]P=rs[/inlmath], dobije se tražena formula za površinu.

bobanex je napisao:[dispmath]\text{ctg }\frac{\alpha}{2}=\frac{s-a}{r}\\
\text{ctg }\frac{\beta}{2}=\frac{s-b}{r}\\
\text{ctg }\frac{\gamma}{2}=\frac{s-c}{r}[/dispmath]

Budući da nije sasvim očigledno (bar ne meni) kako se do ovih formula došlo, napisao bih časkom i njihovo izvođenje.
Posmatrajući gornju sliku i gornju jednakost [inlmath](1)[/inlmath], sledi da je [inlmath]AR=s-(BP+CQ)[/inlmath]. A kako je [inlmath]CQ=CP[/inlmath], sledi [inlmath]AR=s-(BP+CP)[/inlmath]. A kako je [inlmath]BP+CP=BC=a[/inlmath], sledi [inlmath]AR=s-a[/inlmath].
Pošto je [inlmath]\text{ctg }\frac{\alpha}{2}=\frac{AR}{r}[/inlmath], sledi [inlmath]\text{ctg }\frac{\alpha}{2}=\frac{s-a}{r}[/inlmath].
Analogno se pokazuje i [inlmath]\text{ctg }\frac{\beta}{2}=\frac{s-b}{r}[/inlmath] i [inlmath]\text{ctg }\frac{\gamma}{2}=\frac{s-c}{r}[/inlmath].

bounty je napisao:p.s. ne znam kako se pišu minute u latexu, pa sam stavila stupnjeve - ali to su minute:)

Običan apostrof. :) Ispravio sam.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 6717
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3516 puta
Pohvaljen: 3699 puta


Povratak na GEOMETRIJA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 12 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Subota, 16. Decembar 2017, 15:56 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs