Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI GEOMETRIJA

Krava na kružnoj livadi

[inlmath]\triangle ABC\sim\triangle A'B'C'[/inlmath]

Moderator: Corba248

Re: Krava na kružnoj livadi

Postod Sveta » Sreda, 08. April 2015, 17:56

Lepo, nema šta.... desideri :thumbup: :bravo:
Za dalji rad zadatka tj., za izračunavanje površine odsečaka iskoristiti sledece slike postavljene u koordinatnom sistemu

livada.png
livada.png (19.77 KiB) Pogledano 142 puta

livada_ods1.png
Odsecak 1
livada_ods1.png (18.33 KiB) Pogledano 142 puta

livada_ods2.png
Odsecak 2
livada_ods2.png (33.46 KiB) Pogledano 142 puta
Sveta  OFFLINE
 
Postovi: 13
Zahvalio se: 11 puta
Pohvaljen: 4 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Krava na kružnoj livadi

Postod Gamma » Sreda, 08. April 2015, 20:42

Je li ko uradio ovaj zadatak :roll: ? Meni je jasno sve do ovoga određivanja [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath]. Kod određivanja površine odsječaka nastaje problem. Ovo je lako kod pravouglih trouglova.Kada je desideri rekao dva odsječka ne znam na šta je tačno mislio. Uglavnom nije mi jasno kako da krenem sa površinom.
Gamma  OFFLINE
 
Postovi: 1009
Zahvalio se: 183 puta
Pohvaljen: 237 puta

  • +1

Re: Krava na kružnoj livadi

Postod Sinisa » Sreda, 08. April 2015, 21:21

da li si uopste pogledao sliku prije nego sto si postavio ovo pitanje? dva odsjecka - povrsina koju krava moze da pase predstavlja zbir povrsina odsjecaka od dva kruga (u oba slucaja te odsjecke odsjeca ista prava)

-da ne povjerujes i mi imamo isti problem da izrazimo povrsinu tog presjeka krugova...
Sinisa  OFFLINE
 
Postovi: 625
Zahvalio se: 74 puta
Pohvaljen: 397 puta

Re: Krava na kružnoj livadi

Postod Gamma » Sreda, 08. April 2015, 21:31

Jesam i nije mi puno pomogla. Zato sam postavio i ovo pitanje.
Gamma  OFFLINE
 
Postovi: 1009
Zahvalio se: 183 puta
Pohvaljen: 237 puta

  • +1

Re: Krava na kružnoj livadi

Postod Daniel » Četvrtak, 09. April 2015, 02:42

Sveta je napisao:Za dalji rad zadatka tj., za izračunavanje površine odsečaka iskoristiti sledece slike postavljene u koordinatnom sistemu

Na tim slikama je pokazano da se površina svakog od ta dva kružna odsečka dobije kao razlika površina odgovarajućeg kružnog isečka i odgovarajućeg jednakokrakog trougla.
Ugao [inlmath]\angle CBD[/inlmath] obeležimo sa [inlmath]\alpha[/inlmath]. Pošto je to periferni ugao nad tetivom [inlmath]CD[/inlmath], tada će ugao [inlmath]\angle COD[/inlmath], kao centralni ugao nad tom istom tetivom, ali s druge njene strane, biti jednak [inlmath]360^\circ-2\alpha[/inlmath].

Odsečak 1:
[dispmath]P_{\mbox{i}1}=\pi R^2\frac{\angle COD}{360^\circ}=\pi R^2\frac{360^\circ-2\alpha}{360^\circ}=\cancel{\pi}R^2\frac{2\pi-2\alpha}{2\cancel{\pi}}=R^2\left(\pi-\alpha\right)\\
P_{\triangle COD}=\frac{R^2}{2}\sin\angle COD=\frac{R^2}{2}\sin\left(360^\circ-2\alpha\right)=-\frac{R^2}{2}\sin2\alpha\quad\left(=\frac{R^2}{2}\left|\sin2\alpha\right|\right)\\
P_{\mbox{o}1}=P_{\mbox{i}1}-P_{\triangle COD}=R^2\left(\pi-\alpha\right)+\frac{R^2}{2}\sin2\alpha=R^2\left(\pi-\alpha+\frac{\sin2\alpha}{2}\right)[/dispmath]
Odsečak 2:
[dispmath]P_{\mbox{i}2}=\pi r^2\frac{\angle CBD}{360^\circ}=\cancel{\pi}r^2\frac{\alpha}{2\cancel{\pi}}=r^2\frac{\alpha}{2}\\
P_{\triangle CBD}=\frac{r^2}{2}\sin\angle CBD=\frac{r^2}{2}\sin\alpha\\
P_{\mbox{o}2}=P_{\mbox{i}2}-P_{\triangle CBD}=r^2\frac{\alpha}{2}-\frac{r^2}{2}\sin\alpha=\frac{r^2}{2}\left(\alpha-\sin\alpha\right)[/dispmath]
Imamo uslov zadatka da je zbir površina ova dva odsečka jednak polovini površine kruga poluprečnika [inlmath]R[/inlmath]:
[dispmath]P_{\mbox{o}1}+P_{\mbox{o}2}=\frac{\pi R^2}{2}\\
R^2\left(\pi-\alpha+\frac{\sin2\alpha}{2}\right)+\frac{r^2}{2}\left(\alpha-\sin\alpha\right)=\frac{\pi R^2}{2}\quad\left(1\right)[/dispmath]
Da bi bilo moguće [inlmath]r[/inlmath] izraziti preko [inlmath]R[/inlmath], potrebno je [inlmath]\alpha[/inlmath] izraziti preko [inlmath]r[/inlmath] i [inlmath]R[/inlmath]. Posmatrajmo jednakokraki trougao [inlmath]\triangle BOC[/inlmath]. Njegova osnovica je [inlmath]r[/inlmath], a kraci su mu [inlmath]R[/inlmath]. Njegova dva jednaka ugla su [inlmath]\frac{\alpha}{2}[/inlmath]. Odatle sledi da je
[dispmath]\cos\frac{\alpha}{2}=\frac{\frac{r}{2}}{R}=\frac{r}{2R}\quad\Rightarrow\quad\alpha=\arccos\frac{r}{2R}[/dispmath]
[inlmath]\sin\alpha[/inlmath] možemo izraziti preko [inlmath]\cos\alpha[/inlmath], vodeći računa o tome da je [inlmath]\alpha\in\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)[/inlmath], zbog čega je [inlmath]\sin\frac{\alpha}{2}[/inlmath] pozitivan:
[dispmath]\sin\alpha=2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}=2\cos\frac{\alpha}{2}\sqrt{1-\cos^2\frac{\alpha}{2}}=\cancel2\cdot\frac{r}{\cancel2R}\sqrt{1-\frac{r^2}{4R^2}}=\frac{r}{R}\sqrt{1-\frac{r^2}{4R^2}}[/dispmath]
Možemo sada i [inlmath]\sin2\alpha[/inlmath] izraziti preko [inlmath]\sin\alpha[/inlmath], vodeći računa o tome da je [inlmath]\cos\alpha[/inlmath] negativan zbog intervala u kojem se nalazi [inlmath]\alpha[/inlmath]:
[dispmath]\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=2\sin\alpha\left(-\sqrt{1-\sin^2\alpha}\right)=-2\frac{r}{R}\sqrt{1-\frac{r^2}{4R^2}}\sqrt{1-\frac{r^2}{R^2}\left(1-\frac{r^2}{4R^2}\right)}=\cdots[/dispmath]
Sad se sve to uvrsti u jednačinu [inlmath]\left(1\right)[/inlmath] umesto [inlmath]\alpha[/inlmath], umesto [inlmath]\sin\alpha[/inlmath] i umesto [inlmath]\sin2\alpha[/inlmath] i dobije se jedna lepa transcendentna jednačina po [inlmath]r[/inlmath], :scared-yipes: koju je moguće rešiti isključivo numeričkim putem (što smo, uostalom, mogli zaključiti već i iz samog oblika jednačine [inlmath]\left(1\right)[/inlmath], u kojoj se [inlmath]\alpha[/inlmath] pojavljuje i samostalno i u okviru sinusa).

Odakle je ovaj zadatak? :think1:
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7088
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3698 puta
Pohvaljen: 3858 puta

Re: Krava na kružnoj livadi

Postod Sveta » Nedelja, 19. April 2015, 10:18

Pre neki dan sam dobio pitanje u vezi ovog zadatka.
Ako je konopac kojim je vezana krava dužine [inlmath]l[/inlmath] koliki bi bio poluprečnik kružne livade tako da krava može da popase tačno polovinu livade?
Sveta  OFFLINE
 
Postovi: 13
Zahvalio se: 11 puta
Pohvaljen: 4 puta

Re: Krava na kružnoj livadi

Postod Daniel » Ponedeljak, 20. April 2015, 14:03

Ovo baš neka transcendentna krava... :)

Isti đavo, kako god okreneš. Došli smo do jednačine [inlmath]\left(1\right)[/inlmath] iz mog prethodnog posta, pokazao sam kako se u nju, umesto trigonometrijskih funkcija ugla [inlmath]\alpha[/inlmath], uvrštavaju odgovarajući izrazi sa [inlmath]r[/inlmath] (tj. [inlmath]l[/inlmath], kako si ti obeležio) i [inlmath]R[/inlmath], čime dobijamo transcendentu jednačinu bilo da je rešavamo po dužini kanapa, bilo po poluprečniku livade...
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7088
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3698 puta
Pohvaljen: 3858 puta

Re: Krava na kružnoj livadi

Postod Zlotvor1 » Utorak, 19. Decembar 2017, 23:01

Ovako, ako uzmemo za slucaj da je [inlmath]r_1=r_2[/inlmath], tj ako je poluprecnik livade jednak duzini ulara odnos povrsine kruga i elipsaste figure je [inlmath]0.391[/inlmath], a u slucaju ako je ular duzi od poluprecnika livade za [inlmath]\sqrt2[/inlmath] puta, odnos povrsine kruga i figure je [inlmath]0.681[/inlmath]!
Poslednji put menjao Daniel dana Sreda, 20. Decembar 2017, 11:52, izmenjena samo jedanput
Razlog: Dodavanje Latexa – tačka 13. Pravilnika
 
Postovi: 1
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 0 puta

Re: Krava na kružnoj livadi

Postod Daniel » Sreda, 20. Decembar 2017, 11:53

Pa, dobro... I, šta s tim?
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7088
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3698 puta
Pohvaljen: 3858 puta

Prethodna

Povratak na GEOMETRIJA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Google [Bot] i 2 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Ponedeljak, 18. Jun 2018, 05:40 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs