Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI GEOMETRIJA

Pravilni oktaedar i kocka

[inlmath]\triangle ABC\sim\triangle A'B'C'[/inlmath]

Pravilni oktaedar i kocka

Postod Igor » Utorak, 20. Mart 2018, 09:40

Zadatak glasi: Oko pravilnog oktaedra je opisana kocka, tako da su temena oktaedra središta pljosni kocke. U isti oktaedar je upisana kocka, tako da su temena kocke središta pljosni oktaedra. Koliki je odnos zapremina ove dve kocke?

Je l' može neko da mi pomogne na koji način se radi ovaj zadatak? Jasno mi je da su temena oktaedra u preseku dijagonala strana kocke, i da se temena kocke poklapaju sa težištima strana oktaedra, i tako mogu da zamislim neku sliku, ali nemam ideju kako se može rešiti...
Korisnikov avatar
Igor  OFFLINE
Hiljaditi član foruma
 
Postovi: 89
Zahvalio se: 28 puta
Pohvaljen: 76 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Pravilni oktaedar i kocka

Postod Daniel » Utorak, 20. Mart 2018, 17:00

Možda pomogne ako se situacija posmatra iz specijalnih uglova. To bi izgledalo ovako ako se posmatra iz nekog opšteg ugla,

oktaedar1.png
oktaedar1.png (4.33 KiB) Pogledano 2128 puta

a posmatrano iz specijalnih uglova imali bismo sledeće oblike:

oktaedar2.png
oktaedar2.png (1.29 KiB) Pogledano 2128 puta

S gornje slike se sasvim trivijalno može izraziti ivica spoljašnje kocke preko ivice oktaedra.

oktaedar3.png
oktaedar3.png (1.04 KiB) Pogledano 2128 puta

A odavde se može uz nešto više (al' opet ne mnogo) posla izraziti i ivica unutrašnje kocke preko ivice oktaedra (ja bih to radio preko sličnosti trouglova).
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Pravilni oktaedar i kocka

Postod Igor » Utorak, 20. Mart 2018, 20:03

Hvala na odgovoru :)
Da dopunimo post:
Ja dobijam da je ivica spoljašnje kocke jednaka [inlmath]a\sqrt2[/inlmath], a ivica unutrašnje [inlmath]\frac{a\sqrt2}{\sqrt2+1}[/inlmath], gde je [inlmath]a[/inlmath] ivica pravilnog oktaedra (ako nisam negde pogrešio). Dalje je posle jednostavno naći odnos zapremina upisane i opisane kocke: [inlmath]1:\left(\sqrt2+1\right)^3[/inlmath]. Da li je ovo tačno?
Korisnikov avatar
Igor  OFFLINE
Hiljaditi član foruma
 
Postovi: 89
Zahvalio se: 28 puta
Pohvaljen: 76 puta

Re: Pravilni oktaedar i kocka

Postod Daniel » Utorak, 20. Mart 2018, 22:17

Za ivicu spoljašnje kocke nam se rezultati poklapaju, al' za ivicu unutrašnje kocke ja dobijam [inlmath]\frac{a\sqrt2}{3}[/inlmath]...
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Pravilni oktaedar i kocka

Postod Igor » Utorak, 20. Mart 2018, 22:38

Da, sad sam bas hteo da napišem da sam pogrešio.. Pošto rešenje i jeste [inlmath]1:27[/inlmath]. Ali ne znam kako da dobijem to za ivicu manje kocke, nisam dobro primenio sličnost..
Korisnikov avatar
Igor  OFFLINE
Hiljaditi član foruma
 
Postovi: 89
Zahvalio se: 28 puta
Pohvaljen: 76 puta

Re: Pravilni oktaedar i kocka

Postod Daniel » Utorak, 20. Mart 2018, 22:48

'Oćeš da napišeš kako si radio, pa da nađemo grešku?
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Pravilni oktaedar i kocka

Postod Igor » Utorak, 20. Mart 2018, 22:57

Ako možeš, ispiši ti postupak, shvatiću.. Nešto sam se zbunio šta je koje dužine na drugoj slici..
Korisnikov avatar
Igor  OFFLINE
Hiljaditi član foruma
 
Postovi: 89
Zahvalio se: 28 puta
Pohvaljen: 76 puta

Re: Pravilni oktaedar i kocka

Postod Daniel » Sreda, 21. Mart 2018, 00:55

Hajde, možeš ti to. Jedan si od boljih članova foruma (a uz to i jubilarni hiljaditi), i nemoj da me razočaravaš. :eusa-naughty:
Evo male pomoći:

oktaedar.png
oktaedar.png (1.25 KiB) Pogledano 2110 puta

[inlmath]OB=[/inlmath] polovina ivice oktaedra;
[inlmath]OP=QR=[/inlmath] polovina ivice unutrašnje kocke;
[inlmath]OR=PQ=[/inlmath] polovina dijagonale strane unutrašnje kocke;
[inlmath]AB=[/inlmath] visina strane oktaedra;
[inlmath]BQ=[/inlmath] trećina visine strane oktaedra;
[inlmath]AQ=[/inlmath] dve trećine visine strane oktaedra.

Ovde imaš i više nego što ti je potrebno da bi rešio zadatak, al' od viška glava ne boli. :)
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Pravilni oktaedar i kocka

Postod Igor » Sreda, 21. Mart 2018, 23:25

Trougao [inlmath]AOB[/inlmath] i trougao [inlmath]APQ[/inlmath] sa slike su slični. Sledi:
[dispmath]\frac{OB}{PQ}=\frac{OA}{AP}[/dispmath] Označimo sa [inlmath]a[/inlmath] ivicu pravilnog oktaedra, a sa [inlmath]b[/inlmath] ivicu upisane kocke. Ivica opisane kocke je [inlmath]a\sqrt2[/inlmath] (izračunato). [inlmath]OA=\frac{a\sqrt2}{2}[/inlmath] - polovina ivice opisane kocke. [inlmath]OB=\frac{a}{2}[/inlmath], [inlmath]PQ=\frac{b\sqrt2}{2}[/inlmath], [inlmath]AP=\frac{a\sqrt2}{2}-\frac{b}{2}[/inlmath]. Zamenom u prethodnu relaciju (koja sledi iz sličnosti), dobija se ivica upisane kocke:
[dispmath]b=\frac{a\sqrt2}{3}[/dispmath] Odnos zapremina upisane i opisane kocke je [inlmath]1:27[/inlmath].
Korisnikov avatar
Igor  OFFLINE
Hiljaditi član foruma
 
Postovi: 89
Zahvalio se: 28 puta
Pohvaljen: 76 puta

Re: Pravilni oktaedar i kocka

Postod Daniel » Četvrtak, 22. Mart 2018, 01:55

OK je postupak. Nešto jednostavnije bi bilo posmatrati sličnost trouglova [inlmath]\triangle QRB[/inlmath] i [inlmath]\triangle AOB[/inlmath], iz koje sledi [inlmath]\frac{QR}{AO}=\frac{QB}{AB}\left(=\frac{1}{3}\right)[/inlmath].

Ili, sličnost trouglova [inlmath]\triangle APQ[/inlmath] i [inlmath]\triangle AOB[/inlmath], iz koje sledi [inlmath]\frac{PQ}{OB}=\frac{AQ}{AB}\left(=\frac{2}{3}\right)[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta


Povratak na GEOMETRIJA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 55 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 23:31 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs