Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI GEOMETRIJA

Površina pravilnog n-tougla

[inlmath]\triangle ABC\sim\triangle A'B'C'[/inlmath]

Moderator: Corba248

Površina pravilnog n-tougla

Postod geostorm » Subota, 07. April 2018, 13:45

Da li se površina pravilnog [inlmath]n[/inlmath]-tougla može izračunati preko obrasca
[dispmath]P_n=a^2\frac{n}{4}\text{ctg}\frac{\pi}{n}[/dispmath] ako je:
[inlmath]n[/inlmath] - broj stranica
[inlmath]a[/inlmath] - duzina jedne stranice
 
Postovi: 18
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 1 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Površina pravilnog n-tougla

Postod Daniel » Subota, 07. April 2018, 13:59

Da.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 6979
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3613 puta
Pohvaljen: 3807 puta

  • +1

Re: Površina pravilnog n-tougla

Postod Daniel » Nedelja, 08. April 2018, 09:44

Pošto sam sad ugrabio malo više vremena, da dam i malo detaljniji odgovor kako se došlo do te formule (a i teško da bi postojao neki odgovor koji ne bi bio detaljniji od prethodnog).
Površinu datog [inlmath]n[/inlmath]-tougla možemo posmatrati kao zbir jednakokrakih trouglova čije su osnovice stranice tog [inlmath]n[/inlmath]-tougla, a koji imaju zajednički vrh u centru tog [inlmath]n[/inlmath]-tougla:

n-tougao.png
n-tougao.png (829 Bajta) Pogledano 36 puta

Pošto takvih jednakokrakih trouglova ukupno ima [inlmath]n[/inlmath], površina [inlmath]n[/inlmath]-tougla biće jednaka
[dispmath]P=nP_\triangle[/dispmath] gde je [inlmath]P_\triangle[/inlmath] površina svakog od tih jednakokrakih trouglova.
Površina svakog od tih jednakokrakih trouglova biće jednaka
[dispmath]P_\triangle=\frac{ah_a}{2}[/dispmath] gde je [inlmath]h_a[/inlmath] visina na osnovicu [inlmath]a[/inlmath]. Ako je [inlmath]\theta[/inlmath] ugao pri vrhu jednakokrakog trougla, ta visina se može izraziti na sledeći način:
[dispmath]\text{ctg}\frac{\theta}{2}=\frac{h_a}{\frac{a}{2}}\quad\Longrightarrow\quad h_a=\frac{a}{2}\text{ctg}\frac{\theta}{2}[/dispmath] pa je površina jednakokrakog trougla
[dispmath]P_\triangle=\frac{ah_a}{2}=\frac{a^2}{4}\text{ctg}\frac{\theta}{2}[/dispmath] Sa slike se vidi da [inlmath]n[/inlmath] uglova [inlmath]\theta[/inlmath] čine pun ugao, tj.
[dispmath]n\theta=2\pi\quad\Longrightarrow\quad\theta=\frac{2\pi}{n}[/dispmath] pa izraz za površinu jednakokrakog trougla postaje
[dispmath]P_\triangle=\frac{a^2}{4}\text{ctg}\frac{\pi}{n}[/dispmath] i, na kraju, za površinu celog [inlmath]n[/inlmath]-tougla se dobija:
[dispmath]P=nP_\triangle=a^2\frac{n}{4}\text{ctg}\frac{\pi}{n}[/dispmath]
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 6979
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3613 puta
Pohvaljen: 3807 puta


Povratak na GEOMETRIJA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 2 gostiju

cron

Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Petak, 27. April 2018, 04:46 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs