Pravougli trougao • MATEMANIJA
Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI GEOMETRIJA

Pravougli trougao

[inlmath]\triangle ABC\sim\triangle A'B'C'[/inlmath]

Moderator: Corba248

Pravougli trougao

Postod Marko555 » Subota, 09. Jun 2018, 14:56

Hipotenuza pravouglog trougla je [inlmath]4[/inlmath] puta duza od visine na tu hipotenuzu. Koliki je ugao tog trougla naspram manje katete?

Eh, sad, probao sam na vise nacina da dobijem ovo, primenom Euklidovog stava, izjednacavanjem povrsina, ali sve je bilo presipanje iz supljeg u prazno, neka ideja? :kojik: :kojik:
 
Postovi: 19
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 1 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Pravougli trougao

Postod diopo » Subota, 09. Jun 2018, 18:54

Je l imas neko resenje?
diopo  OFFLINE
 
Postovi: 45
Zahvalio se: 31 puta
Pohvaljen: 15 puta

Re: Pravougli trougao

Postod Miladin Jovic » Subota, 09. Jun 2018, 20:33

Ja sam dobio da manji ugao iznosi [inlmath]15^\circ[/inlmath]. No nisam uopšte siguran da li je tačno. Da li možda imaš krajnje rešenje?
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 355
Zahvalio se: 236 puta
Pohvaljen: 114 puta

  • +1

Re: Pravougli trougao

Postod Tinker » Subota, 09. Jun 2018, 23:09

@Miladin to je tačan odgovor, inače ovo je zadatak sa Mašinskog fakulteta 2017.
Education is what remains after one has forgotten what one has learned in school - Albert Einstein
Tinker  OFFLINE
 
Postovi: 76
Zahvalio se: 54 puta
Pohvaljen: 32 puta

Re: Pravougli trougao

Postod Miladin Jovic » Nedelja, 10. Jun 2018, 00:25

Obeležimo ugao kod temena [inlmath]B[/inlmath] sa [inlmath]\beta[/inlmath]. Posmatrajući trougao koji pravi visina na hipotenuzu i koji sadrži pomenuti ugao, zaključujemo da važi [inlmath]\sin\beta=\frac{h_c}{a}=\frac{c}{4a}[/inlmath]. Primenom sinusne teoreme na ceo trougao zaključujemo da važi [inlmath]\sin\beta=\frac{b}{c}[/inlmath]. Izjednačavanjem ove dve jednakosti, uz malo „očiglednog” sređivanja, dolazimo do [inlmath]a^2-4ab+b^2=0[/inlmath]. Ako navedenu jednakost podelimo sa [inlmath]a^2[/inlmath], dobijamo
[dispmath]1-4\cdot\frac{b}{a}+\left(\frac{b}{a}\right)^2=0[/dispmath] Uočavamo da je [inlmath]\frac{b}{a}[/inlmath] zapravo [inlmath]\text{tg }\beta[/inlmath]. Rešavanjem kvadratne jednačine imamo: [inlmath]\text{tg }\beta=2+\sqrt3[/inlmath], [inlmath]\text{tg }\beta=2-\sqrt3[/inlmath]. Budući da se radi o manjem uglu, zaključujemo [inlmath]\beta=\text{arctg}\left(2-\sqrt3\right)=15^\circ[/inlmath]. Uzimajući u obzir da je reč o zadatku sa prijemnog, ovo rešenje je u najmanju ruku problematično, jer se ne radi o karakterističnom uglu.
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 355
Zahvalio se: 236 puta
Pohvaljen: 114 puta

  • +1

Re: Pravougli trougao

Postod miletrans » Nedelja, 10. Jun 2018, 08:47

Da se sad malo pravim pametan, kad je već Miladin Jović rešio zadatak. Na osnovu vrednosti tangensa, možemo da pretpostavimo da je u pitanju ugao manji od [inlmath]30^\circ[/inlmath]. Za ovaj ugao znamo da mu tangens iznosi [inlmath]\frac{\sqrt3}{3}[/inlmath], a pošto je [inlmath]2-\sqrt3<\frac{\sqrt3}{3}[/inlmath], možemo da zaključimo da je i traženi ugao manji od [inlmath]30^\circ[/inlmath]. Pretpostavićemo da naš ugao iznosi polovinu karakterističnog ugla i primenićemo formulu za tangens polovine ugla:
[dispmath]\text{tg}^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}[/dispmath] Odavde sređivanjem dolazimo do:
[dispmath]\cos\alpha=\frac{-3+2\sqrt3}{4-2\sqrt3}[/dispmath] Možda se odavde ne vidi odmah, ali ako se razlomak proširi sa [inlmath]\frac{4+2\sqrt3}{4+2\sqrt3}[/inlmath], dobija se da je [inlmath]\cos\alpha=\frac{\sqrt3}{2}[/inlmath]. U situaciji kada kalkulator nije dozvoljen, ne vidim drugi način kako bi se izračunao traženi ugao.
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 184
Zahvalio se: 19 puta
Pohvaljen: 213 puta

  • +2

Re: Pravougli trougao

Postod Corba248 » Nedelja, 10. Jun 2018, 13:21

Ako površinu tog pravouglog trougla napišemo kao
[dispmath]P=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}ch_c=\frac{c^2}{8}[/dispmath] Možemo pisati
[dispmath]ab=\frac{c^2}{4}\;\Longrightarrow\;\frac{a}{c}\cdot\frac{b}{c}=\frac{1}{4}\;\Longrightarrow\;\sin\alpha\cos\alpha=\frac{1}{4}\;\Longrightarrow\;\sin2\alpha=\frac{1}{2}\;\Longrightarrow\;2\alpha=\frac{\pi}{6}\;\Longrightarrow\;\alpha=\frac{\pi}{12}=15^\circ[/dispmath] Pretposlednja implikacija ne važi u opštem slučaju, ali pošto znamo da [inlmath]\alpha[/inlmath] pripada prvom kvadrantu, u ovom specijalnom slučaju, važi.
Moderator
 
Postovi: 260
Zahvalio se: 33 puta
Pohvaljen: 291 puta

Re: Pravougli trougao

Postod Daniel » Ponedeljak, 11. Jun 2018, 00:41

miletrans je napisao:[dispmath]\cos\alpha=\frac{-3+2\sqrt3}{4-2\sqrt3}[/dispmath] Možda se odavde ne vidi odmah, ali ako se razlomak proširi sa [inlmath]\frac{4+2\sqrt3}{4+2\sqrt3}[/inlmath], dobija se da je [inlmath]\cos\alpha=\frac{\sqrt3}{2}[/inlmath].

Ili, možemo da brojilac [inlmath]-3+2\sqrt3[/inlmath] napišemo kao [inlmath]-\sqrt3\cdot\sqrt3+2\sqrt3[/inlmath], tj. kao [inlmath]\left(2-\sqrt3\right)\sqrt3[/inlmath], pa se skrati faktor [inlmath]\left(2-\sqrt3\right)[/inlmath] u brojiocu i imeniocu.

Sličan način ovom bio bi da se radi preko tangensa dvostrukog ugla, [inlmath]\text{tg }2\alpha=\frac{2\text{tg }\alpha}{1-\text{tg}^2\alpha}[/inlmath], gde se umesto [inlmath]\text{tg }\alpha[/inlmath] uvrsti [inlmath]2-\sqrt3[/inlmath] itd.

Mada, lično bih zbog jednostavnosti preporučio postupak koji je pokazao Corba248. Samo, ako smem jednu malu dopunu:
Corba248 je napisao:[dispmath]\cdots\;\Longrightarrow\;\sin2\alpha=\frac{1}{2}\;\Longrightarrow\;2\alpha=\frac{\pi}{6}\;\Longrightarrow\;\alpha=\frac{\pi}{12}=15^\circ[/dispmath] Pretposlednja implikacija ne važi u opštem slučaju, ali pošto znamo da [inlmath]\alpha[/inlmath] pripada prvom kvadrantu, u ovom specijalnom slučaju, važi.

Iz [inlmath]\sin2\alpha=\frac{1}{2}[/inlmath] može slediti i [inlmath]2\alpha=\frac{\pi}{6}[/inlmath] i [inlmath]2\alpha=\frac{5\pi}{6}[/inlmath] (ukoliko smo [inlmath]\alpha[/inlmath] ograničili na prvi kvadrant, kao što jesmo). Odatle [inlmath]\alpha[/inlmath] može biti i [inlmath]\frac{\pi}{12}[/inlmath] i [inlmath]\frac{5\pi}{12}[/inlmath], tj. [inlmath]15^\circ[/inlmath] ili [inlmath]75^\circ[/inlmath]. Zbog uslova zadatka, biramo manje rešenje (ono veće rešenje odgovaraće drugom oštrom uglu u trouglu). Smatrao sam da je bitno da ovo napomenem, jer da je zadatak recimo glasio da se traži ugao trougla naspram veće katete, onda iz [inlmath]\sin2\alpha=\frac{1}{2}[/inlmath] ne bismo smeli da eliminišemo mogućnost [inlmath]2\alpha=\frac{5\pi}{6}[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7238
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3756 puta
Pohvaljen: 3928 puta


Povratak na GEOMETRIJA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 1 gost

cron

Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Ponedeljak, 20. Avgust 2018, 05:26 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs