Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI GEOMETRIJA

Primena slicnosti na pravougli trougao – poznata jedna stanica i ugao

[inlmath]\triangle ABC\sim\triangle A'B'C'[/inlmath]

Moderator: Corba248

Primena slicnosti na pravougli trougao – poznata jedna stanica i ugao

Postod DarkoPatic » Ponedeljak, 25. Novembar 2019, 09:25

Zadatak je za prvi razred srednje skole i glasi ovako

Jedna stranica trougla je [inlmath]13\text{ cm}[/inlmath], naspramni ugao [inlmath]60[/inlmath] stepeni, a zbir drugih dveju stranica [inlmath]22\text{ cm}[/inlmath]. Naci te dve stranice.
Resenje je [inlmath]15\text{ cm}[/inlmath] i [inlmath]7\text{ cm}[/inlmath].

E sada, da je u pitanju pravougli trougao lako bi se pomocu pitagorine teoreme to izracunalo ali ta mogucnost otpada. Kada sam nacrtao taj trougao vidim da je tupougli. Stavio sam da mi je osnovica (duza kateta) [inlmath]a=13\text{ cm}[/inlmath], kraca kateta [inlmath]b=\text{ 7cm}[/inlmath] i hipotenuza [inlmath]c=15\text{ cm}[/inlmath]. Euklidove stavove ne mogu da primenim jer nije u pitanju pravougli trougao. Probao sam da nacrtam visinu i da dobije sa jedne strane pravougli trougao ali ne znam sta dalje. Probao sam i da produzim katetu od [inlmath]7\text{ cm}[/inlmath] kako bih dobio dva pravougla trougla sa stranicama od po [inlmath]7\text{ cm}[/inlmath] i ugao izmedju njih [inlmath]120[/inlmath] stepeni ali ne mogu da resim zadatak.
Poslednji put menjao Daniel dana Utorak, 26. Novembar 2019, 17:45, izmenjena samo jedanput
Razlog: Dodavanje Latexa
 
Postovi: 44
Zahvalio se: 20 puta
Pohvaljen: 1 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Primena slicnosti na pravougli trougao – poznata jedna stanica i ugao

Postod primus » Ponedeljak, 25. Novembar 2019, 11:33

Neka je [inlmath]a=13[/inlmath] i [inlmath]\alpha=60^\circ[/inlmath], a nepoznate stranice [inlmath]b[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath]. Ukoliko je dozvoljena upotreba Kosinusne teoreme nepoznate stranice trougla mogu da se nađu rešavanjem sledećeg sistema jednačina:
[dispmath]\begin{cases}
b+c=22\\
a^2=b^2+c^2-2bc\cdot\cos\alpha
\end{cases}[/dispmath]
Korisnikov avatar
primus  OFFLINE
 
Postovi: 28
Zahvalio se: 2 puta
Pohvaljen: 28 puta

Re: Primena slicnosti na pravougli trougao – poznata jedna stanica i ugao

Postod DarkoPatic » Ponedeljak, 25. Novembar 2019, 11:56

Imao sam i ja slicnu ideju ali ne znam da li to sme u ovoj lekciji i da li je to pravilno :roll: ?
 
Postovi: 44
Zahvalio se: 20 puta
Pohvaljen: 1 puta

Re: Primena slicnosti na pravougli trougao – poznata jedna stanica i ugao

Postod Frank » Ponedeljak, 25. Novembar 2019, 18:36

DarkoPatic je napisao:Imao sam i ja slicnu ideju ali ne znam da li to sme u ovoj lekciji i da li je to pravilno :roll: ?

Ne vidim razlog zasto ne bi smelo.
Da dovrsim zadatak:
[dispmath]b+c=22\quad\large/^2\\
b^2+c^2+2bc=484[/dispmath] Sada se vracamo na kosinusnu teoremu
[dispmath]a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha\\
169=b^2+c^2-bc=\underbrace{b^2+c^2+2bc}_{484}-3bc[/dispmath] To jest
[dispmath]-3bc=-315\;\Longrightarrow\;bc=105[/dispmath] Sada imamo
[dispmath]b+c=22\;\Longrightarrow\;b=22-c[/dispmath] To jest
[dispmath](22-c)c=105\\
-c^2+22c-105=0[/dispmath][dispmath]c_{1/2}=\frac{-22\pm8}{-2}\\
\enclose{box}{c_1=15}\hspace{10mm}\enclose{box}{c_2=7}[/dispmath] To jest ako je [inlmath]c=15[/inlmath] onda je [inlmath]b=7[/inlmath] ili je [inlmath]c=7[/inlmath], a [inlmath]b=15[/inlmath].
Frank   ONLINE
 
Postovi: 10
Zahvalio se: 6 puta
Pohvaljen: 8 puta

Re: Primena slicnosti na pravougli trougao – poznata jedna stanica i ugao

Postod DarkoPatic » Ponedeljak, 25. Novembar 2019, 19:52

Hvala puno svima na odgovorima i pomoci ali bih voleo da vidim jos neko resenje posto se kosinusna teorema uci tek u drugoj godini srednje skole sada po novom a ovo je zadatak za prvi razred srednje skole i zbog toga mislim da mozda ovako jos uvek ne sme da se resi zadatak ili mozda gresim? Voleo bih da cujem jos neko misljenje.
 
Postovi: 44
Zahvalio se: 20 puta
Pohvaljen: 1 puta

Re: Primena slicnosti na pravougli trougao – poznata jedna stanica i ugao

Postod Daniel » Utorak, 26. Novembar 2019, 17:40

Koliko je meni poznato, kosinusna se nikad nije ni učila u prvom srednje.
Ne vidim kako bismo ovaj zadatak mogli rešiti preko sličnosti (kako sugeriše naslov teme), ali ga možemo rešiti upotrebom samo Pitagorine teoreme (dobro, trebaće nam još i formula za visinu jednakostraničnog trougla, ali ona takođe direktno sledi iz Pitagorine). Posmatramo trougao na slici:

trougao s uglom od 60 stepeni.png
trougao s uglom od 60 stepeni.png (799 Bajta) Pogledano 47 puta

(Tačno je da treba da se dobije tupougli trougao, ali mi to u startu ne znamo, tako da možemo crtati i oštrougli trougao.)
Izrazićemo visinu [inlmath]h[/inlmath] na dva načina:
[dispmath]h=\frac{b\sqrt3}{2}\tag1[/dispmath][dispmath]h^2=13^2-\left(c-\frac{b}{2}\right)^2\tag2[/dispmath] Kvadriramo jednačinu [inlmath](1)[/inlmath], zatim izjednačimo desne strane jednačina [inlmath](1)[/inlmath] i [inlmath](2)[/inlmath]. Uvrštavanjem [inlmath]c=22-b[/inlmath] i sređivanjem, dobijamo kvadratnu jednačinu po [inlmath]b[/inlmath], čija su rešenja [inlmath]b=7[/inlmath] i [inlmath]b=15[/inlmath] (što su rešenja zavisno od toga koju od preostale dve stranice krstimo sa [inlmath]b[/inlmath], a koju sa [inlmath]c[/inlmath]).

Upravo po ovom principu se i dokazuje kosinusna teorema.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7772
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4087 puta
Pohvaljen: 4141 puta

Re: Primena slicnosti na pravougli trougao – poznata jedna stanica i ugao

Postod DarkoPatic » Sreda, 27. Novembar 2019, 06:58

Nigde ne kaze da mora zadatak da se uradi primenom slicnosti ali isto tako se moraju primeniti znanja koja su stecena u prvom razredu srednje skole. Ja ne kazem da ostali clanovi nisu uradili tacno zadatak ali ucenik u prvom razredu srednje skole ne bi mogao da resi zadatak upotrebom kosinusne teoreme. Daniele, hvala puno na pomoci.
 
Postovi: 44
Zahvalio se: 20 puta
Pohvaljen: 1 puta


Povratak na GEOMETRIJA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 15 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Subota, 07. Decembar 2019, 13:34 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs