Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI GEOMETRIJA

Tačka preseka normala

[inlmath]\triangle ABC\sim\triangle A'B'C'[/inlmath]

Tačka preseka normala

Postod primus » Subota, 17. Oktobar 2020, 06:57

Propozicija. Neka je dat proizvoljan trougao [inlmath]\triangle ABC[/inlmath] i tačka [inlmath]D[/inlmath] u njegovoj unutrašnjoj oblasti. Neka su [inlmath]T_1,T_2,T_3[/inlmath] težišne tačke trouglova [inlmath]\triangle ABD,\triangle BCD,\triangle CAD[/inlmath] respektivno. Ako su [inlmath]p,q,r[/inlmath] prave takve da je [inlmath]p\perp AB[/inlmath] i [inlmath]T_1\in p[/inlmath], [inlmath]q\perp BC[/inlmath] i [inlmath]T_2\in q[/inlmath], [inlmath]r\perp AC[/inlmath] i [inlmath]T_3\in r[/inlmath] tada se [inlmath]p[/inlmath], [inlmath]q[/inlmath] i [inlmath]r[/inlmath] seku u jednoj tački.

GeoGebra aplet koji demonstrira ovu propoziciju može se naći ovde. Interesuje me kako bi se moglo pristupiti ovom problemu, tj. smernice kako započeti dokaz.
Prikačeni fajlovi
TackaPresekaNormala.png
TackaPresekaNormala.png (8.23 KiB) Pogledano 153 puta
Plenus venter non studet libenter
Korisnikov avatar
primus  OFFLINE
 
Postovi: 121
Zahvalio se: 8 puta
Pohvaljen: 128 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Tačka preseka normala

Postod Daniel » Subota, 17. Oktobar 2020, 22:26

Početna ideja bi bila posmatrati trougao [inlmath]\triangle A'B'C'[/inlmath], gde je [inlmath]A'B'\parallel AB[/inlmath], [inlmath]T_1\in A'B'[/inlmath], [inlmath]B'C'\parallel BC[/inlmath], [inlmath]T_2\in B'C'[/inlmath], [inlmath]C'A'\parallel CA[/inlmath], [inlmath]T_3\in C'A'[/inlmath].

P.S. Zbog čega ovo u „Pseudomatematiku“? „Pseudomatematika“ je predviđena za razne trisekcije uglova, kvadrature kruga i slične kvazinaučne metode. U ovom zadatku nema ničeg nenaučnog, premestio sam ga u „Geometriju“.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 8421
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4491 puta
Pohvaljen: 4477 puta

  • +1

Re: Tačka preseka normala

Postod Daniel » Subota, 17. Oktobar 2020, 22:46

Naknadno uočih još jedan način – može i posmatranjem trougla [inlmath]\triangle T_1T_2T_3[/inlmath], pri čemu se lako dokaže da je [inlmath]T_1T_2\parallel AC[/inlmath], [inlmath]T_2T_3\parallel BA[/inlmath] i [inlmath]T_3T_1\parallel CB[/inlmath], nakon čega se dokaz svodi na poznatu činjenicu da se sve visine trougla seku u jednoj tački (u tački ortocentra).
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 8421
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4491 puta
Pohvaljen: 4477 puta

Re: Tačka preseka normala

Postod primus » Nedelja, 18. Oktobar 2020, 06:39

Da, upotrebom vektora može se pokazati da je: [inlmath]\vec{T_1T_2}=\frac{1}{3}\vec{AC}[/inlmath], [inlmath]\vec{T_2T_3}=\frac{1}{3}\vec{BA}[/inlmath], [inlmath]\vec{T_3T_1}=\frac{1}{3}\vec{CB}[/inlmath] odakle sledi [inlmath]T_1T_2\parallel AC[/inlmath], [inlmath]T_2T_3\parallel BA[/inlmath], [inlmath]T_3T_1\parallel CB[/inlmath].

UBR, zadatak sam sam smislio a nisam imao dokaz pa ga stoga stavih u rubriku "Pseudomatematika".
Plenus venter non studet libenter
Korisnikov avatar
primus  OFFLINE
 
Postovi: 121
Zahvalio se: 8 puta
Pohvaljen: 128 puta

  • +1

Re: Tačka preseka normala

Postod Daniel » Nedelja, 18. Oktobar 2020, 22:09

Način bez vektora bio bi da se prvo, preko sličnosti trouglova, dokaže [inlmath]AC\parallel C_1A_1[/inlmath] (gde su [inlmath]A_1[/inlmath] i [inlmath]C_1[/inlmath], respektivno, središta stranica [inlmath]BC[/inlmath] i [inlmath]AB[/inlmath]), a zatim se, preko sličnosti trouglova [inlmath]\triangle DA_1C_1[/inlmath] i [inlmath]\triangle DT_2T_1[/inlmath], dokaže i [inlmath]C_1A_1\parallel T_1T_2[/inlmath].
Slično i za [inlmath]AB\parallel T_3T_2[/inlmath] i za [inlmath]BC\parallel T_1T_3[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 8421
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4491 puta
Pohvaljen: 4477 puta

  • +1

Re: Tačka preseka normala

Postod primus » Ponedeljak, 19. Oktobar 2020, 06:35

Moguće je napraviti generalizaciju ovog zadatka tako što trougao zamenimo bilo kojim tetivnim mnogouglom.
GeoGebra aplet za tetivni četvorougao.
GeoGebra aplet za tetivni petougao.
Plenus venter non studet libenter
Korisnikov avatar
primus  OFFLINE
 
Postovi: 121
Zahvalio se: 8 puta
Pohvaljen: 128 puta

Re: Tačka preseka normala

Postod ubavic » Ponedeljak, 19. Oktobar 2020, 13:37

primus, da li si ti smislio ovaj zadatak?
ubavic  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 556
Zahvalio se: 359 puta
Pohvaljen: 547 puta

Re: Tačka preseka normala

Postod primus » Ponedeljak, 19. Oktobar 2020, 14:39

Da. Zašto pitaš?
Plenus venter non studet libenter
Korisnikov avatar
primus  OFFLINE
 
Postovi: 121
Zahvalio se: 8 puta
Pohvaljen: 128 puta

Re: Tačka preseka normala

Postod ubavic » Ponedeljak, 19. Oktobar 2020, 15:01

Eto tako :)
Svaka čast, zanimljiv zadatak :)
ubavic  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 556
Zahvalio se: 359 puta
Pohvaljen: 547 puta

Re: Tačka preseka normala

Postod primus » Ponedeljak, 19. Oktobar 2020, 15:12

Hvala.
Plenus venter non studet libenter
Korisnikov avatar
primus  OFFLINE
 
Postovi: 121
Zahvalio se: 8 puta
Pohvaljen: 128 puta


Povratak na GEOMETRIJA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 7 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Nedelja, 25. Oktobar 2020, 07:47 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs