Izvođenje formula za površinu trougla preko opisane i upisane kružnice
Poslato: Ponedeljak, 25. Avgust 2014, 19:31
Koliko sam vidio niko nije postavio na forum dokaze za povrsinu trougla sa upisanom i opisanom kruznicom. Pa jerko da ja postavim. Mada izvodjenja nisu duga uopste ali cesto se koriste ove formule pa tako mislim da ovo nije lose
1. Dokaz sa opisanom kruznicom.
Iz trougla [inlmath]\triangle BDO[/inlmath] imamo:
[dispmath]\sin\theta=\frac{a/2}{R}\\
\sin\theta=\frac{a}{2R}[/dispmath]
[dispmath]P=\frac{1}{2}bc\sin\theta\\
P=\frac{1}{2}bc\frac{a}{2R}\\
\enclose{box}{P=\frac{abc}{4R}}[/dispmath]
[dispmath]\enclose{box}{R=\frac{abc}{4P}}[/dispmath]
2.Dokaz sa upisanom kruznicom.
Sa ove slike vidimo da povrsinu trougla mozemo predstaviti kao zbir povrsina tri trougla kod kojih je visina poluprecnik kruznice.
[dispmath]P_1=\frac{ar}{2}\\
P_2=\frac{br}{2}\\
P_3=\frac{cr}{2}[/dispmath]
[dispmath]P=P_1+P_2+P_3\\
P=\frac{ar}{2}+\frac{br}{2}+\frac{cr}{2}\\
P=\frac{a+b+c}{2}r[/dispmath]
[inlmath]\frac{a+b+c}{2}[/inlmath] predstavlja poluobim [inlmath]s[/inlmath]:
[dispmath]\enclose{box}{P=rs}\\
\enclose{box}{r=\frac{P}{s}}[/dispmath]
1. Dokaz sa opisanom kruznicom.
Iz trougla [inlmath]\triangle BDO[/inlmath] imamo:
[dispmath]\sin\theta=\frac{a/2}{R}\\
\sin\theta=\frac{a}{2R}[/dispmath]
[dispmath]P=\frac{1}{2}bc\sin\theta\\
P=\frac{1}{2}bc\frac{a}{2R}\\
\enclose{box}{P=\frac{abc}{4R}}[/dispmath]
[dispmath]\enclose{box}{R=\frac{abc}{4P}}[/dispmath]
2.Dokaz sa upisanom kruznicom.
Sa ove slike vidimo da povrsinu trougla mozemo predstaviti kao zbir povrsina tri trougla kod kojih je visina poluprecnik kruznice.
[dispmath]P_1=\frac{ar}{2}\\
P_2=\frac{br}{2}\\
P_3=\frac{cr}{2}[/dispmath]
[dispmath]P=P_1+P_2+P_3\\
P=\frac{ar}{2}+\frac{br}{2}+\frac{cr}{2}\\
P=\frac{a+b+c}{2}r[/dispmath]
[inlmath]\frac{a+b+c}{2}[/inlmath] predstavlja poluobim [inlmath]s[/inlmath]:
[dispmath]\enclose{box}{P=rs}\\
\enclose{box}{r=\frac{P}{s}}[/dispmath]