Izvođenje formula za površinu trougla preko opisane i upisane kružnice

PostPoslato: Ponedeljak, 25. Avgust 2014, 19:31
od Gamma
Koliko sam vidio niko nije postavio na forum dokaze za povrsinu trougla sa upisanom i opisanom kruznicom. Pa jerko da ja postavim. Mada izvodjenja nisu duga uopste ali cesto se koriste ove formule pa tako mislim da ovo nije lose :)



1. Dokaz sa opisanom kruznicom.

opisana kruznica.png
opisana kruznica.png (50.25 KiB) Pogledano 32275 puta

Iz trougla [inlmath]\triangle BDO[/inlmath] imamo:
[dispmath]\sin\theta=\frac{a/2}{R}\\
\sin\theta=\frac{a}{2R}[/dispmath]
[dispmath]P=\frac{1}{2}bc\sin\theta\\
P=\frac{1}{2}bc\frac{a}{2R}\\
\enclose{box}{P=\frac{abc}{4R}}[/dispmath]
[dispmath]\enclose{box}{R=\frac{abc}{4P}}[/dispmath]


2.Dokaz sa upisanom kruznicom.

upisana kruznica.png
upisana kruznica.png (48.88 KiB) Pogledano 32275 puta

Sa ove slike vidimo da povrsinu trougla mozemo predstaviti kao zbir povrsina tri trougla kod kojih je visina poluprecnik kruznice.
[dispmath]P_1=\frac{ar}{2}\\
P_2=\frac{br}{2}\\
P_3=\frac{cr}{2}[/dispmath]
[dispmath]P=P_1+P_2+P_3\\
P=\frac{ar}{2}+\frac{br}{2}+\frac{cr}{2}\\
P=\frac{a+b+c}{2}r[/dispmath]
[inlmath]\frac{a+b+c}{2}[/inlmath] predstavlja poluobim [inlmath]s[/inlmath]:
[dispmath]\enclose{box}{P=rs}\\
\enclose{box}{r=\frac{P}{s}}[/dispmath]

Re: Izvođenje formula za površinu trougla preko opisane i upisane kružnice

PostPoslato: Petak, 12. Maj 2017, 19:41
od MajaK
Puno hvala na ovom objašnjenju. Dugo tražim način za izvođenje ovih formula i ovaj post je bio od velike pomoći. Još jednom hvala.