Krava na kružnoj livadi

PostPoslato: Utorak, 07. April 2015, 17:25
od Sveta
Na rubu kružne livade poluprečnika [inlmath]R[/inlmath], poboden je stub za koji je vezana krava. Odrediti dužinu konopca kojim je krava vezana tako da može da popase tačno polovinu livade.

:thumbup: Kako rešiti ovaj zadatak tj., kako odrediti dužinu konopca? Zadatak sam pokušao rešiti tako što sam deo livade koji pase krava tetivom podelio na dva kružna odsečka. Lakše bi bilo objasniti dokle sam stigao ali kako ubaciti sliku iz GeoGebre (Izvoz u eps formatu ali sta dalje...) Pomoć oko zadatka i ubacivanja slike. Hvala unapred :unsure:

Re: Krava na kružnoj livadi

PostPoslato: Utorak, 07. April 2015, 19:23
od desideri
Evo najpre odgovora u vezi sa programčetom GeoGebra (i ja ga koristim, na preporuku našeg moderatora @ubavic-a).
Kada je slika gotova, idi na File-Export-Graphics View as a Picture. Snimi u formatu png, to je preporuka našeg administratora @Daniel-a. Gledaj da ne bude preko [inlmath]20[/inlmath] kb.
p.s. Ako šta pogreših u uputstvu, ispraviće me kolega @ubavic.
p.p.s. Za kravu moram još da razmislim :D . Nadam se da bi još neko da pokuša...

Re: Krava na kružnoj livadi

PostPoslato: Utorak, 07. April 2015, 19:42
od Sinisa
duzina lanca mora biti duza od poluprecnika [inlmath]R[/inlmath]... ta duzina se nalazi negdje izmedju [inlmath]R[/inlmath] i duzine tog lanca u slucaju kada [inlmath]2R[/inlmath] predstavlja tetivu kruga ciji je poluprecnik lanac... :(

Re: Krava na kružnoj livadi

PostPoslato: Utorak, 07. April 2015, 19:48
od Sveta
:thumb-up: :thumb-up: :thumbup: Hvala za uputstvo oko ubacivanja slike.
Napravio sam png file {livada2.png} veličine skoro 20KB i pokušao ovako al nešto se ne snalazim u Latex
[img]c:\user\x\documents\livada2.png[/img]
i ne ide.... :kez:

Re: Krava na kružnoj livadi

PostPoslato: Utorak, 07. April 2015, 19:59
od Sinisa
da li se ovi zadaci mogu rjesavati uz pomoc odredjenog integrala? ne vidim drugi nacin da izracunamo povrsinu presjeka dvije kruznice :(

Re: Krava na kružnoj livadi

PostPoslato: Utorak, 07. April 2015, 20:05
od Daniel
Sveta je napisao:Napravio sam png file {livada2.png} veličine skoro 20KB i pokušao ovako al nešto se ne snalazim u Latex
[img]c:\user\x\documents\livada2.png[/img]
i ne ide.... :kez:

Ne možeš tako, to što si uokvirio img-tagovima, to je lokalna putanja na tvom kompu, kojem ovaj forum nema (i ne treba da ima) pristup. :) Fajl moraš uploadovati na forum: tab „Pošalji prikačeni fajl“ ispod polja za pisanje poruke, zatim „Browse“, izabereš fajl sa svog kompa, pa dugme „Dodaj fajl“.

To je dovoljno da bi prikačio fajl uz poruku. Ispod polja za pisanje poruke videćeš spisak fajlova koje si prikačio uz tu poruku.

Ono što možeš dalje da uradiš (ali nije neophodno), to je da napišeš neki kratak komentar uz taj fajl, kao i da sliku pozicioniraš na neko željeno mesto unutar posta – to činiš tako što postaviš kursor na to mesto u postu, a zatim u spisku prikačenih fajlova pronađeš tu sliku koju želiš da postaviš unutar posta i klikneš na dugme „Postavi u red“.

Re: Krava na kružnoj livadi

PostPoslato: Utorak, 07. April 2015, 21:44
od Sveta
livada5.png
livada5.png (21.88 KiB) Pogledano 1552 puta

Uspeo sam sa slikom. Bas vam se zahvaljujem Daniel :D .
Radi preglednosti sam ubacio veći format slike.

Re: Krava na kružnoj livadi

PostPoslato: Utorak, 07. April 2015, 21:45
od desideri
Sinisa je napisao:da li se ovi zadaci mogu rjesavati uz pomoc odredjenog integrala? ne vidim drugi nacin da izracunamo povrsinu presjeka dvije kruznice

Ima više načina da se izračuna površina preseka dve kružnice. Naravno da može i preko određenog integrala, tu si u pravu. Ali zašto topovima gađati komarce?
(Ovo je reko Konfučije, nisam ja :) )
Zašto neko ne proba analitičkom geometrijom (postaviti centar koordinatnog sistema tačno u stub za koji je vezana krava)?
A može i bez toga, još prostije ;)

Re: Krava na kružnoj livadi

PostPoslato: Utorak, 07. April 2015, 22:09
od Sveta
Ako je stub za koji je vezana krava tačka [inlmath]B[/inlmath] a uže dužine [inlmath]r=|BC|[/inlmath], poluprečnik livade [inlmath]R[/inlmath], onda bi trbalo odrediti [inlmath]r=f(R)[/inlmath] obzirom da nemamo nikakve druge podatke osim poluprečnika livade. Površina polovine kruga [inlmath]K_1[/inlmath] mora biti jednaka zbiru površina kružnih odsečaka [inlmath]\widehat{DBC}[/inlmath] i [inlmath]\widehat{DEC}[/inlmath]. Zanimljiv problem...
desideri je napisao:Ima više načina da se izračuna površina preseka dve kružnice. Naravno da može i preko određenog integrala, tu si u pravu. Ali zašto topovima gađati komarce?
(Ovo je reko Konfučije, nisam ja :) )
Zašto neko ne proba analitičkom geometrijom (postaviti centar koordinatnog sistema tačno u stub za koji je vezana krava)?
A može i bez toga, još prostije ;)

Kako? :confusion-helpsos:

Re: Krava na kružnoj livadi

PostPoslato: Sreda, 08. April 2015, 13:12
od desideri
Evo najpre početka postupka primenom analitičke geometrije:
Koordinatni sistem postavi se tačno "u stub", to jest [inlmath](0,0)[/inlmath] je tamo gde je vezana krava.
Sada je jednačina veće kružnice sa Svetine slike (btw, slika mi se baš sviđa, stvarno "govori više od hiljadu reči"):
[dispmath]x^2+y^2=r^2[/dispmath]
Sa druge strane, jednačina manje kružnice je:
[dispmath](x+R)^2+y^2=R^2[/dispmath]
Koordinate [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] iste su u dve tačke preseka ove dve kružnice. Eliminacijom [inlmath]x^2+y^2[/inlmath] iz dve navedene jednačine dobio sam:
[dispmath]x=-\frac{r^2}{2R};\qquad\quad y=\pm r\sqrt{1-\frac{r^2}{4R^2}}[/dispmath]
Naravno da je [inlmath]r<2R[/inlmath] inače krava sve popase :)
Ovo znači da su veličine označene sa [inlmath]b[/inlmath] i [inlmath]a[/inlmath] na Svetinoj slici:
[dispmath]b=\frac{r^2}{2R}\\
a=r\sqrt{1-\frac{r^2}{4R^2}}[/dispmath]
E sad bi trebalo postaviti uslov da je zbir površina dva odsečka jednak polovini površine manjeg kruga. Ako znamo [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath], skoro sve je tu.
I priznajem, uopšte sve ovo nije tako lako kao što mi se "na prvu loptu" učinilo. :)

Re: Krava na kružnoj livadi

PostPoslato: Sreda, 08. April 2015, 16:56
od Sveta
Lepo, nema šta.... desideri :thumbup: :bravo:
Za dalji rad zadatka tj., za izračunavanje površine odsečaka iskoristiti sledece slike postavljene u koordinatnom sistemu

livada.png
livada.png (19.77 KiB) Pogledano 397 puta

livada_ods1.png
Odsecak 1
livada_ods1.png (18.33 KiB) Pogledano 397 puta

livada_ods2.png
Odsecak 2
livada_ods2.png (33.46 KiB) Pogledano 397 puta

Re: Krava na kružnoj livadi

PostPoslato: Sreda, 08. April 2015, 19:42
od Gamma
Je li ko uradio ovaj zadatak :roll: ? Meni je jasno sve do ovoga određivanja [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath]. Kod određivanja površine odsječaka nastaje problem. Ovo je lako kod pravouglih trouglova.Kada je desideri rekao dva odsječka ne znam na šta je tačno mislio. Uglavnom nije mi jasno kako da krenem sa površinom.

Re: Krava na kružnoj livadi

PostPoslato: Sreda, 08. April 2015, 20:21
od Sinisa
da li si uopste pogledao sliku prije nego sto si postavio ovo pitanje? dva odsjecka - povrsina koju krava moze da pase predstavlja zbir povrsina odsjecaka od dva kruga (u oba slucaja te odsjecke odsjeca ista prava)

-da ne povjerujes i mi imamo isti problem da izrazimo povrsinu tog presjeka krugova...

Re: Krava na kružnoj livadi

PostPoslato: Sreda, 08. April 2015, 20:31
od Gamma
Jesam i nije mi puno pomogla. Zato sam postavio i ovo pitanje.

Re: Krava na kružnoj livadi

PostPoslato: Četvrtak, 09. April 2015, 01:42
od Daniel
Sveta je napisao:Za dalji rad zadatka tj., za izračunavanje površine odsečaka iskoristiti sledece slike postavljene u koordinatnom sistemu

Na tim slikama je pokazano da se površina svakog od ta dva kružna odsečka dobije kao razlika površina odgovarajućeg kružnog isečka i odgovarajućeg jednakokrakog trougla.
Ugao [inlmath]\angle CBD[/inlmath] obeležimo sa [inlmath]\alpha[/inlmath]. Pošto je to periferni ugao nad tetivom [inlmath]CD[/inlmath], tada će ugao [inlmath]\angle COD[/inlmath], kao centralni ugao nad tom istom tetivom, ali s druge njene strane, biti jednak [inlmath]360^\circ-2\alpha[/inlmath].

Odsečak 1:
[dispmath]P_{\mbox{i}1}=\pi R^2\frac{\angle COD}{360^\circ}=\pi R^2\frac{360^\circ-2\alpha}{360^\circ}=\cancel{\pi}R^2\frac{2\pi-2\alpha}{2\cancel{\pi}}=R^2\left(\pi-\alpha\right)\\
P_{\triangle COD}=\frac{R^2}{2}\sin\angle COD=\frac{R^2}{2}\sin\left(360^\circ-2\alpha\right)=-\frac{R^2}{2}\sin2\alpha\quad\left(=\frac{R^2}{2}\left|\sin2\alpha\right|\right)\\
P_{\mbox{o}1}=P_{\mbox{i}1}-P_{\triangle COD}=R^2\left(\pi-\alpha\right)+\frac{R^2}{2}\sin2\alpha=R^2\left(\pi-\alpha+\frac{\sin2\alpha}{2}\right)[/dispmath]
Odsečak 2:
[dispmath]P_{\mbox{i}2}=\pi r^2\frac{\angle CBD}{360^\circ}=\cancel{\pi}r^2\frac{\alpha}{2\cancel{\pi}}=r^2\frac{\alpha}{2}\\
P_{\triangle CBD}=\frac{r^2}{2}\sin\angle CBD=\frac{r^2}{2}\sin\alpha\\
P_{\mbox{o}2}=P_{\mbox{i}2}-P_{\triangle CBD}=r^2\frac{\alpha}{2}-\frac{r^2}{2}\sin\alpha=\frac{r^2}{2}\left(\alpha-\sin\alpha\right)[/dispmath]
Imamo uslov zadatka da je zbir površina ova dva odsečka jednak polovini površine kruga poluprečnika [inlmath]R[/inlmath]:
[dispmath]P_{\mbox{o}1}+P_{\mbox{o}2}=\frac{\pi R^2}{2}\\
R^2\left(\pi-\alpha+\frac{\sin2\alpha}{2}\right)+\frac{r^2}{2}\left(\alpha-\sin\alpha\right)=\frac{\pi R^2}{2}\quad\left(1\right)[/dispmath]
Da bi bilo moguće [inlmath]r[/inlmath] izraziti preko [inlmath]R[/inlmath], potrebno je [inlmath]\alpha[/inlmath] izraziti preko [inlmath]r[/inlmath] i [inlmath]R[/inlmath]. Posmatrajmo jednakokraki trougao [inlmath]\triangle BOC[/inlmath]. Njegova osnovica je [inlmath]r[/inlmath], a kraci su mu [inlmath]R[/inlmath]. Njegova dva jednaka ugla su [inlmath]\frac{\alpha}{2}[/inlmath]. Odatle sledi da je
[dispmath]\cos\frac{\alpha}{2}=\frac{\frac{r}{2}}{R}=\frac{r}{2R}\quad\Rightarrow\quad\alpha=\arccos\frac{r}{2R}[/dispmath]
[inlmath]\sin\alpha[/inlmath] možemo izraziti preko [inlmath]\cos\alpha[/inlmath], vodeći računa o tome da je [inlmath]\alpha\in\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)[/inlmath], zbog čega je [inlmath]\sin\frac{\alpha}{2}[/inlmath] pozitivan:
[dispmath]\sin\alpha=2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}=2\cos\frac{\alpha}{2}\sqrt{1-\cos^2\frac{\alpha}{2}}=\cancel2\cdot\frac{r}{\cancel2R}\sqrt{1-\frac{r^2}{4R^2}}=\frac{r}{R}\sqrt{1-\frac{r^2}{4R^2}}[/dispmath]
Možemo sada i [inlmath]\sin2\alpha[/inlmath] izraziti preko [inlmath]\sin\alpha[/inlmath], vodeći računa o tome da je [inlmath]\cos\alpha[/inlmath] negativan zbog intervala u kojem se nalazi [inlmath]\alpha[/inlmath]:
[dispmath]\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=2\sin\alpha\left(-\sqrt{1-\sin^2\alpha}\right)=-2\frac{r}{R}\sqrt{1-\frac{r^2}{4R^2}}\sqrt{1-\frac{r^2}{R^2}\left(1-\frac{r^2}{4R^2}\right)}=\cdots[/dispmath]
Sad se sve to uvrsti u jednačinu [inlmath]\left(1\right)[/inlmath] umesto [inlmath]\alpha[/inlmath], umesto [inlmath]\sin\alpha[/inlmath] i umesto [inlmath]\sin2\alpha[/inlmath] i dobije se jedna lepa transcendentna jednačina po [inlmath]r[/inlmath], :scared-yipes: koju je moguće rešiti isključivo numeričkim putem (što smo, uostalom, mogli zaključiti već i iz samog oblika jednačine [inlmath]\left(1\right)[/inlmath], u kojoj se [inlmath]\alpha[/inlmath] pojavljuje i samostalno i u okviru sinusa).

Odakle je ovaj zadatak? :think1:

Re: Krava na kružnoj livadi

PostPoslato: Nedelja, 19. April 2015, 09:18
od Sveta
Pre neki dan sam dobio pitanje u vezi ovog zadatka.
Ako je konopac kojim je vezana krava dužine [inlmath]l[/inlmath] koliki bi bio poluprečnik kružne livade tako da krava može da popase tačno polovinu livade?

Re: Krava na kružnoj livadi

PostPoslato: Ponedeljak, 20. April 2015, 13:03
od Daniel
Ovo baš neka transcendentna krava... :)

Isti đavo, kako god okreneš. Došli smo do jednačine [inlmath]\left(1\right)[/inlmath] iz mog prethodnog posta, pokazao sam kako se u nju, umesto trigonometrijskih funkcija ugla [inlmath]\alpha[/inlmath], uvrštavaju odgovarajući izrazi sa [inlmath]r[/inlmath] (tj. [inlmath]l[/inlmath], kako si ti obeležio) i [inlmath]R[/inlmath], čime dobijamo transcendentu jednačinu bilo da je rešavamo po dužini kanapa, bilo po poluprečniku livade...

Re: Krava na kružnoj livadi

PostPoslato: Utorak, 19. Decembar 2017, 22:01
od Zlotvor1
Ovako, ako uzmemo za slucaj da je [inlmath]r_1=r_2[/inlmath], tj ako je poluprecnik livade jednak duzini ulara odnos povrsine kruga i elipsaste figure je [inlmath]0.391[/inlmath], a u slucaju ako je ular duzi od poluprecnika livade za [inlmath]\sqrt2[/inlmath] puta, odnos povrsine kruga i figure je [inlmath]0.681[/inlmath]!

Re: Krava na kružnoj livadi

PostPoslato: Sreda, 20. Decembar 2017, 10:53
od Daniel
Pa, dobro... I, šta s tim?