Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI GEOMETRIJA

Sfera upisana u piramidu [Probni prijemni MATF 2014]

[inlmath]\triangle ABC\sim\triangle A'B'C'[/inlmath]

Sfera upisana u piramidu [Probni prijemni MATF 2014]

Postod gaxon97 » Subota, 18. Jun 2016, 22:47

Probni prijemni ispit MATF - 14. jun 2014.
6. zadatak


Ovako glasi zadatak : duzina ivica osnove trostrane piramide su [inlmath]13,14,15[/inlmath]. Sve bocne strane nagnute su prema ravni osnove pod uglom od [inlmath]60^\circ[/inlmath]. Poluprecnik sfere upisane u ovu piramidu?

Sad ja ne znam kako izgleda sfera u piramidi, i koje su bitne tacke, odnosno gde ona sve dodiruje ovu piramidu.
gaxon97  OFFLINE
 
Postovi: 23
Zahvalio se: 6 puta
Pohvaljen: 6 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Sfera upisana u piramidu [Probni prijemni MATF 2014]

Postod bole » Nedelja, 19. Jun 2016, 00:52

Kako ja vidim ovaj zadatak, u pitanju je prava trostrana piramida sa raznostraničnim trouglom kao bazom, te možemo zaključiti da će visina piramide padati u centar upisane kružnice u bazu, ako se dobro sjećam gradiva. Lopta onda dira piramidu u četiri tačke od kojih je jedna tačka u kojoj visina piramide dodiruje bazu.
Prvo trebamo odrediti površinu baze pomoću Heronovog obrasca i dobijamo da je [inlmath]P=84[/inlmath] iz te površine možemo odrediti vrijednost poluprečnika upisane kružnice u taj trougao [inlmath]P=r_u\cdot s\;\Rightarrow\;r_u=4[/inlmath]. Sada možemo na osnovu datog ugla i poluprečnika kruga odrediti visinu piramide i visinu bočne strane, te dobijamo [inlmath]H=4\cdot\sqrt3[/inlmath] i [inlmath]h=8[/inlmath]

trougao.png
trougao.png (4.95 KiB) Pogledano 2569 puta

Sada prvo izvedemo
[dispmath]\triangle ABC\sim\triangle NMC\\
\angle CAB=\angle MNC=90^\circ\\
\angle ACB=\angle MCN\\
\angle ABC=\angle NMC\\
\Rightarrow\;h:r_u=\left(H-R\right):R[/dispmath]
iz ovoga sad izrazimo čemu je jednako [inlmath]R[/inlmath] i na kraju se dobija da je [inlmath]R=\frac{4\cdot\sqrt3}{3}[/inlmath]
p.s. nadam se da nisam negdje napravio grešku
bole  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 76
Lokacija: Banja Luka
Zahvalio se: 29 puta
Pohvaljen: 91 puta

Re: Sfera upisana u piramidu [Probni prijemni MATF 2014]

Postod gaxon97 » Nedelja, 19. Jun 2016, 00:55

To je resenje, hvala puno na pomoci :)
gaxon97  OFFLINE
 
Postovi: 23
Zahvalio se: 6 puta
Pohvaljen: 6 puta

Re: Sfera upisana u piramidu [Probni prijemni MATF 2014]

Postod Daniel » Nedelja, 19. Jun 2016, 06:31

Potvrđujem tačnost kako postupka tako i rešenja, samo bih da raščistimo neke stvari koje se tiču terminologije.
bole je napisao:Kako ja vidim ovaj zadatak, u pitanju je prava trostrana piramida sa raznostraničnim trouglom kao bazom, te možemo zaključiti da će visina piramide padati u centar upisane kružnice u bazu, ako se dobro sjećam gradiva.

Prava piramida se definiše kao piramida kod koje su sve bočne ivice međusobno jednake. Posledično, bočne strane prave piramide su jednakokraki trouglovi, vrh prave piramide je podjednako udaljen od svih temena osnove, projekcija vrha na ravan osnove (tj. podnožje visine) takođe je podjednako udaljena od svih temena osnove, odakle opet sledi da je podnožje visine – centar kružnice opisane oko osnove.

Kod ove piramide to nije slučaj. Kod ove piramide nisu međusobno jednake bočne ivice, već su međusobno jednake apoteme (visine bočnih strana). Kao posledica toga, podnožje visine će biti centar kružnice upisane u osnovu, kao što si i napisao. Ali, ova piramida nije prava piramida.

Ako bismo apoteme ove piramide posmatrali kao bočne ivice neke nove piramide, onda bi ta nova piramida bila prava piramida.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

  • +1

Re: Sfera upisana u piramidu [Probni prijemni MATF 2014]

Postod ubavic » Nedelja, 19. Jun 2016, 14:12

Daniel je napisao:Prava piramida se definiše kao piramida kod koje su sve bočne ivice međusobno jednake. Posledično, bočne strane prave piramide su pravougli trouglovi,..

Meni ovo nije baš jasno. Da li si mislio na jednakostranične trouglove?
ubavic  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 623
Zahvalio se: 385 puta
Pohvaljen: 641 puta

Re: Sfera upisana u piramidu [Probni prijemni MATF 2014]

Postod Daniel » Nedelja, 19. Jun 2016, 14:25

Apsolutno.
Sorry zbog zabune. Ispravih. I, hvala na opažanju. :thumbup:
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Sfera upisana u piramidu [Probni prijemni MATF 2014]

Postod ubavic » Nedelja, 19. Jun 2016, 14:26

I ja napisem jednakostranični umesto jednakokraki :mrgreen: :facepalm:
ubavic  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 623
Zahvalio se: 385 puta
Pohvaljen: 641 puta

Re: Sfera upisana u piramidu [Probni prijemni MATF 2014]

Postod bole » Utorak, 21. Jun 2016, 15:13

Hvala @Daniel-e ja to uvijek pomiješam to koja piramida je u pitanju :D
bole  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 76
Lokacija: Banja Luka
Zahvalio se: 29 puta
Pohvaljen: 91 puta


Povratak na GEOMETRIJA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 50 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 14:31 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs