Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI GEOMETRIJA

Jednakokrako-pravougli trougao

[inlmath]\triangle ABC\sim\triangle A'B'C'[/inlmath]

Jednakokrako-pravougli trougao

Postod Gekko » Petak, 28. Oktobar 2016, 23:47

Namuci me ova geometrija:
Neka su [inlmath]ACED[/inlmath], [inlmath]BCGF[/inlmath], [inlmath]AHIB[/inlmath] kvadrati spolja konstruisani nad ivicama trougla [inlmath]\triangle ABC[/inlmath]. Ako su [inlmath]J[/inlmath] i [inlmath]K[/inlmath] temena paralelograma [inlmath]CEJG[/inlmath] i [inlmath]HADK[/inlmath], dokazati da je trougao [inlmath]\triangle KBJ[/inlmath] jednakokrako-pravougli.

matemanija.png
matemanija.png (13.43 KiB) Pogledano 1782 puta

Zurio sam u ovaj zadatak sat vremena (ruku na srce, nisam preterano ispisivao relacije), i nije mi nista palo na pamet.
Stvar dokazivanja je relativno (posto je jel' sve relativno) jednostavna i u dokazu (bar po mojoj pretpostavci) treba koristiti neku podudarnost.
Problem je u tome sto ja ne vidim koju podudarnost treba uociti. Primera radi, pokusamo li uociti trougao [inlmath]BKH[/inlmath] i [inlmath]BGJ[/inlmath] automatski shvatamo da je podudarnost nemoguca osim u slucaju kada je trougao jednakostranican, zbog razlicitih duzina dijagonala dva kvadrata cije su stranice u stvari stranice pocetnog trougla, a posto je zadatak uopsten (nemamo informacije za trougao [inlmath]ABC[/inlmath]) vidimo da time ne postizemo nista. Isto tako kada posmatramo i centar kvadrata [inlmath]DECA[/inlmath].
Apsolutno nemam nikakvu ideju, ili ne vidim nesto sto je ocigledno, ili zadatak i nije toliko jednostavan kao sto sam pomislio, stoga je svako bombardovanje idejama itekako dobrodoslo.
Hvala vam. :) :thumbup:
''Everybody is a genius. But if you judge a fish by its ability to climb a tree, it will live its whole life believing that it is stupid.''
-Albert Einstein
Korisnikov avatar
Gekko  OFFLINE
 
Postovi: 50
Zahvalio se: 30 puta
Pohvaljen: 8 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Jednakokrako-pravougli trougao

Postod Daniel » Subota, 29. Oktobar 2016, 06:41

Vrlo lepo postavljeno pitanje. :thumbup:

Doduše, slika ti baš i nije bogzna šta :P (širina i visina očigledno nisu u srazmeri), al' evo lepše slike, na kojoj kvadrati – jesu kvadrati. :D

trougao i kvadrati.png
trougao i kvadrati.png (4.22 KiB) Pogledano 1769 puta

Dokaz se izvodi preko podudarnosti žućkato obeleženih trouglova.
A da bi se pokazala njihova podudarnost, potrebno je prethodno primetiti da je trougao [inlmath]\triangle ABC[/inlmath] podudaran s trouglovima [inlmath]\triangle DKA[/inlmath], [inlmath]\triangle HAK[/inlmath], [inlmath]\triangle CJE[/inlmath] i [inlmath]\triangle JCG[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

  • +1

Re: Jednakokrako-pravougli trougao

Postod Gekko » Subota, 29. Oktobar 2016, 14:12

Tek sam poceo da ucim da koristim ovo sto si mi preporucio, daj mi vremena za lepse slike :lol: .
Prvenstveno da ti se zahvalim sto si mi odgovorio u 7 izjutra :o , kao i za to sto mi nisi resio zadatak vec dao uputstvo da ga sam resim :thumbup: .
E a sad posto mislim da sam ga resio, samo jos da te zamolim da vidis jesam li negde u dokazu pogresio, tj. jesam li iskoristio nesto sto je ocigledno (posto se sve, pa i ono sto je ocigledno u geometriji strogo dokazuje, osim, jel', aksioma).
Pratio sam tvoje uputstvo i evo sta sam dobio:
[inlmath]BC=CG,\;\angle ACB=\angle CGJ[/inlmath] (kao uglovi sa normalnim kracima)
[inlmath]AC=GJ\;\Rightarrow\;\triangle ABC\cong\triangle CEJ\;(SUS)[/inlmath], analogno dokazemo podudarnost ostalih trouglova sa [inlmath]ABC[/inlmath].
E a sada za zuckaste trouglove vazi:
[inlmath]AB=CJ[/inlmath] i [inlmath]KA=BC[/inlmath] (sto sledi iz gorenavedene podudarnosti) i sada nam je ostalo jos da malo baratamo sa uglovima:
[inlmath]\angle BAK=360^\circ-(\alpha+90^\circ+\beta)[/inlmath], gde je [inlmath]\alpha=\angle BAC[/inlmath] i [inlmath]\beta=\angle ACB\;\Rightarrow\;\angle BAK=270^\circ-(\alpha+\beta)\;\Rightarrow\;\angle BAK=90^\circ+\gamma[/inlmath] a uocavanjem ugla [inlmath]BCJ[/inlmath] vidimo da je [inlmath]\angle BCJ=90^\circ+\gamma\;\Rightarrow\;\angle BCJ=\angle BAK\;\Rightarrow\;\triangle BAK\cong\triangle BCJ\;(SUS)\;\Rightarrow BK=BJ[/inlmath]
Ostalo je jos samo da dokazemo da je [inlmath]\angle KBJ=90^\circ[/inlmath] :
[inlmath]\angle AKB+\angle ABK=180^\circ-(90^\circ+\gamma)=90^\circ-\gamma\;\Rightarrow\;\angle AKB+\angle ABK+\gamma=\angle KBJ=90^\circ-\gamma+\gamma=90^\circ[/inlmath], odatle sledi da je [inlmath]\triangle KBJ[/inlmath] jednakokrako-pravougli, sto je i trebalo dokazati. :D
''Everybody is a genius. But if you judge a fish by its ability to climb a tree, it will live its whole life believing that it is stupid.''
-Albert Einstein
Korisnikov avatar
Gekko  OFFLINE
 
Postovi: 50
Zahvalio se: 30 puta
Pohvaljen: 8 puta

  • +1

Re: Jednakokrako-pravougli trougao

Postod Daniel » Subota, 29. Oktobar 2016, 19:23

Gekko je napisao:E a sad posto mislim da sam ga resio, samo jos da te zamolim da vidis jesam li negde u dokazu pogresio,

Lepo je ovo rečeno... u stihu... ;)

Dokaz je u principu OK. Ako bismo cepidlačili (a u matematici se često cepidlači), onda bih primetio sledećih par sitnica):
Gekko je napisao:[inlmath]BC=CG,\;\angle ACB=\angle CGJ[/inlmath] (kao uglovi sa normalnim kracima)
[inlmath]AC=GJ\;\Rightarrow\;\triangle ABC\cong\triangle{\color{red}CEJ}\;(SUS)[/inlmath],

Ovime je dokazana podudarnost trougla [inlmath]\triangle ABC[/inlmath] s trouglom [inlmath]\triangle JCG[/inlmath], ne s trouglom [inlmath]\triangle CJE[/inlmath].
OK, možda je greška u kucanju, al' da napomenem.
Gledaj i da pri pisanju oznaka podudarnih trouglova redosled njihovih temena bude usaglašen. Znači, ako je prvi trougao [inlmath]\triangle ABC[/inlmath], onda njemu podudarne trouglove sa ove slike treba zapisati kao [inlmath]\triangle HAK[/inlmath], [inlmath]\triangle DKA[/inlmath], [inlmath]\triangle CJE[/inlmath] i [inlmath]\triangle JCG[/inlmath].

Gekko je napisao:[inlmath]\angle BAK=360^\circ-(\alpha+90^\circ+\beta)[/inlmath], gde je [inlmath]\alpha=\angle BAC[/inlmath] i [inlmath]\beta=\angle ACB[/inlmath]

Bolje bi bilo da si ugao kod temena [inlmath]B[/inlmath] trougla [inlmath]\triangle ABC[/inlmath] obeležio sa [inlmath]\beta[/inlmath], a ugao kod temena [inlmath]C[/inlmath] sa [inlmath]\gamma[/inlmath]. To je uobičajeni način obeležavanja, a ovako je malo zbunjujuće...

Gekko je napisao:Ostalo je jos samo da dokazemo da je [inlmath]\angle KBJ=90^\circ[/inlmath] :
[inlmath]\angle AKB+\angle ABK=180^\circ-(90^\circ+\gamma)=90^\circ-\gamma\;\Rightarrow\;\angle AKB+\angle ABK+\gamma=\angle KBJ=90^\circ-\gamma+\gamma=90^\circ[/inlmath], odatle sledi da je [inlmath]\triangle KBJ[/inlmath] jednakokrako-pravougli, sto je i trenalo dokazati. :D

Ovde je, čini mi se, preskočen jedan korak – trebalo bi naglasiti da je [inlmath]\angle AKB=\angle CBJ[/inlmath] (što sledi iz podudarnosti trouglova [inlmath]\triangle BAK[/inlmath] i [inlmath]\triangle JCB[/inlmath]), tako da iz [inlmath]\angle AKB+\angle ABK+\gamma=90^\circ[/inlmath] sledi [inlmath]\underbrace{\angle CBJ+\angle ABK+\gamma}_{\angle KBJ}=90^\circ[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

  • +1

Re: Jednakokrako-pravougli trougao

Postod Gekko » Subota, 29. Oktobar 2016, 19:36

Daniel je napisao:Lepo je ovo rečeno... u stihu... ;)

Poceo sam i rime da vezbam :lol: , nikada se ne zna, mozda se, ako mi karijera propadne u matematici, okrenem repu :cool2: :rozi:.
Naravno da se u matematici cepidlaci i sitnicari, jer nema preciznosti bez matematike a i obratno :D .
Jeste greska u kucanju za ovu podudarnost, sad videh... :facepalm: .
Drzacu se pravilne orijentacije temena mnogouglova ubuduce, ovo sam sad onako, na brzinu, cisto da bih znao dal' gresim ili ne.
Bitno meni da sam ja uvideo sustinu...
Hvala jos jednom. :thumbup:
''Everybody is a genius. But if you judge a fish by its ability to climb a tree, it will live its whole life believing that it is stupid.''
-Albert Einstein
Korisnikov avatar
Gekko  OFFLINE
 
Postovi: 50
Zahvalio se: 30 puta
Pohvaljen: 8 puta


Povratak na GEOMETRIJA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 46 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Petak, 29. Mart 2024, 12:27 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs