Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI GEOMETRIJA

Odnos zapremina kupe i upisane lopte – ETF prijemni 2016.

[inlmath]\triangle ABC\sim\triangle A'B'C'[/inlmath]

Moderator: Corba248

Odnos zapremina kupe i upisane lopte – ETF prijemni 2016.

Postod Corba248 » Nedelja, 11. Jun 2017, 22:35

Pošto sam čuo da je ovaj zadatak bio problematičan nekima reko' da okačim rešenje.
Zadatak glasi:
Izvodnice prave kružne kupe nagnute su prema ravni osnove pod uglom [inlmath]\alpha[/inlmath], a u kupu je upisana lopta. Vrednost [inlmath]\tan\frac{\alpha}{2}[/inlmath] tako da odnos [inlmath]V_l/V_k[/inlmath] (zapremine lopte i zapremine kupe) ima najveću moguću vrednost, jednaka je:
Tačan odgovor je [inlmath]\frac{1}{\sqrt2}[/inlmath].

Ja bih radio na sledeći način, a možda postoji i neki lakši. Odnos [inlmath]\frac{V_l}{V_k}[/inlmath] je zapravo:
[dispmath]\frac{V_l}{V_k}=\frac{\frac{4}{3}R^3\cancel{\pi}}{\frac{1}{3}r^2H\cancel{\pi}}=\frac{4R^3}{r^2H}[/dispmath] gde je [inlmath]R[/inlmath] poluprečnik lopte, [inlmath]r[/inlmath] poluprečnik osnove kupe i [inlmath]H[/inlmath] visina kupe.
Posmatrajmo sada jednakokraki trougao [inlmath]\triangle ABC[/inlmath] (presek kupe) sa temenom [inlmath]B[/inlmath] pri vrhu, centrom upisane kružnice [inlmath]O[/inlmath] i podnožjem visine iz temena [inlmath]B[/inlmath] u tački [inlmath]B_1[/inlmath]. Iz trougla [inlmath]\triangle ABC[/inlmath] dobijamo odnos [inlmath]\tan\alpha=\frac{H}{r}\;\Rightarrow\;H=r\tan\alpha[/inlmath]. Ukoliko spojimo tačke [inlmath]O[/inlmath] i [inlmath]A[/inlmath] uočavamo pravougli trougao [inlmath]\triangle AB_1O[/inlmath] sa katetama dužina [inlmath]r[/inlmath] i [inlmath]R[/inlmath]. Takođe, ugao [inlmath]\angle OAC_1[/inlmath] iznosi [inlmath]\frac{\alpha}{2}[/inlmath] jer se centar upisane kružnice nalazi na preseku simetrala unutrašnjih uglova. Odatle dobijamo odnos [inlmath]\tan\frac{\alpha}{2}=\frac{R}{r}\;\Rightarrow\;R=r\tan\frac{\alpha}{2}[/inlmath]. Kada ovo uvrstimo u odnos zapremina dobijamo:
[dispmath]\frac{V_l}{V_k}=\frac{4R^3}{r^2H}=\frac{4R^3}{r^2\cdot r\tan\alpha}=\frac{4R^3}{r^3\tan\alpha}=\frac{4\cdot\cancel{r^3}\tan^3\frac{\alpha}{2}}{\cancel{r^3}\tan\alpha}=\frac{4\tan^3\frac{\alpha}{2}}{\tan\alpha}[/dispmath] Potom ćemo [inlmath]\tan\alpha[/inlmath] napisati kao tangens dvostrukog ugla kao [inlmath]\tan\alpha=\frac{2\tan\frac{\alpha}{2}}{1-\tan^2\frac{\alpha}{2}}[/inlmath]:
[dispmath]\frac{V_l}{V_k}=\frac{\cancelto{2}{4}\cancelto{\tan^2\frac{\alpha}{2}}{\tan^3\frac{\alpha}{2}}}{\frac{\cancel{2\tan\frac{\alpha}{2}}}{1-\tan^2\frac{\alpha}{2}}}=\frac{2\tan^2\frac{\alpha}{2}}{\frac{1}{1-\tan^2\frac{\alpha}{2}}}=2\tan^2\frac{\alpha}{2}\left(1-\tan^2\frac{\alpha}{2}\right)[/dispmath] Sada možemo naći prvi izvod po promenljivoj [inlmath]\tan\frac{\alpha}{2}[/inlmath]:
[dispmath]2\left(\tan^2\frac{\alpha}{2}-\tan^4\frac{\alpha}{2}\right)'=4\tan\frac{\alpha}{2}\cdot\left(1-2\tan^2\frac{\alpha}{2}\right)[/dispmath] Da bismo našli maksimum prvi izvod izjednačavamo sa nulom:
[dispmath]4\tan\frac{\alpha}{2}\cdot\left(1-2\tan^2\frac{\alpha}{2}\right)=0[/dispmath] Kako [inlmath]\tan\frac{\alpha}{2}[/inlmath] mora biti veći od nule jer je [inlmath]\alpha[/inlmath] oštar ugao ostaje jedino mogućnost [inlmath]1-2\tan^2\frac{\alpha}{2}=0\;\Longrightarrow\;\enclose{box}{\tan\frac{\alpha}{2}=\frac{1}{\sqrt2}}[/inlmath].
Moderator
 
Postovi: 312
Zahvalio se: 37 puta
Pohvaljen: 348 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Povratak na GEOMETRIJA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 5 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Ponedeljak, 09. Decembar 2019, 08:32 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs