Kosinus ostrog ugla izmedju dijagonala paralelepipeda

PostPoslato: Četvrtak, 15. Jun 2017, 18:01
od jmatija98
Ivice [inlmath]AB[/inlmath], [inlmath]AD[/inlmath], [inlmath]AA_1[/inlmath] pravouglog paralelepipeda [inlmath]ABCDA_1B_1C_1D_1[/inlmath] su redom [inlmath]2[/inlmath], [inlmath]3[/inlmath], [inlmath]4[/inlmath]. Kosinus oštrog ugla između dijagonala [inlmath]AC_1[/inlmath] i [inlmath]BD_1[/inlmath] jednak je:
[inlmath]A)\;\frac{21}{29}\quad[/inlmath] [inlmath]B)\;\frac{3}{5}\quad[/inlmath] [inlmath]C)\;\frac{3}{4}\quad[/inlmath] [inlmath]D)\;\frac{31}{29}\quad[/inlmath] [inlmath]E)\;\frac{7}{25}\quad[/inlmath] [inlmath]N)\;\text{ne znam}[/inlmath]

Tacan odgovor je pod [inlmath]A[/inlmath]

Za ovaj zadatak nemam nikakvu ideju jer nemam ugao osnove, pa me zanima da li se uopste radi preko geometrije ili ima neka druga caka, tipa vektori ili nesto. Inace zadatak je sa Prijemnog na MATF Beograd 2013. Hvala unapred!

Re: Kosinus ostrog ugla izmedju dijagonala paralelepipeda

PostPoslato: Četvrtak, 15. Jun 2017, 18:19
od Nađa
Da nije mozda resenja pod [inlmath]A[/inlmath] ali sa znakom minus?

Re: Kosinus ostrog ugla izmedju dijagonala paralelepipeda

PostPoslato: Četvrtak, 15. Jun 2017, 18:20
od Nađa
Ja sam dobila kao pod [inlmath]A[/inlmath] ali sa minusom.
Prvo sam izracunala dijagonalu osnove kvadra, [inlmath]d=\sqrt{13}[/inlmath], dijagonala [inlmath]AC_1=\sqrt{29}[/inlmath], povukla sam te dijagonale prostorne, i kada spustim normalu na stranicu [inlmath]AB[/inlmath] dobijam pravougli trougao, sa polovinom trazenog ugla..
[dispmath]\cos\frac{\alpha}{2}=\frac{1}{\frac{\sqrt{29}}{2}}[/dispmath] i na kraju za [inlmath]\cos\alpha[/inlmath] dobijam [inlmath]\cos\alpha=-\frac{21}{29}[/inlmath]

Re: Kosinus ostrog ugla izmedju dijagonala paralelepipeda

PostPoslato: Četvrtak, 15. Jun 2017, 18:42
od Nađa
Pogresila sam, jos od crtanja slike :D
Sad dobijam tacno...gledas cetvorougao [inlmath]ABC_1D_1[/inlmath] i on je pravougaonik, [inlmath]AB=2[/inlmath], [inlmath]AC_1=\sqrt{29}[/inlmath] kao sto sam vec napisala bila...posmatras ugao [inlmath]\angle BD_1A[/inlmath] on je polovina trazenog, oznacicu ga sa [inlmath]\alpha[/inlmath]... iz pravouglog trougla [inlmath]ABD_1[/inlmath] sledi da je [inlmath]\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{2}{\sqrt{29}}[/inlmath]
Lako izracunas [inlmath]\cos\alpha=1-2\left(\sin\frac{\alpha}{2}\right)^2=1-2\cdot\left(\frac{2}{\sqrt{29}}\right)^2=\frac{21}{29}[/inlmath]

Re: Kosinus ostrog ugla izmedju dijagonala paralelepipeda

PostPoslato: Četvrtak, 15. Jun 2017, 18:44
od Nađa
Nadam se da ti je jasno sada :D

Re: Kosinus ostrog ugla izmedju dijagonala paralelepipeda

PostPoslato: Četvrtak, 15. Jun 2017, 18:53
od Daniel
U redu su oba načina. Nego si kod prvog načina posmatrala tup ugao između te dve prave, umesto da posmatraš oštar ugao (u zadatku je naglašeno da se traži kosinus oštrog ugla).
Naravno, kosinus oštrog ugla mora biti pozitivan, a kosinus tupog ugla negativan, tako da si već po tom minusu mogla videti da rezultat ne može odgovarati traženom oštrom uglu.

Re: Kosinus ostrog ugla izmedju dijagonala paralelepipeda

PostPoslato: Četvrtak, 15. Jun 2017, 19:01
od jmatija98
A kako si nasla dijagonalu osnove?
Kako znas da je troguao [inlmath]ABD_1[/inlmath] pravougli?
I kako znas da je ugao [inlmath]BD_1A[/inlmath] bas polovina trazenog?

Predpostavljam da su glupa pitanja tako da se u startu izvinjavam al totalno mi je nejasan zadatak

Re: Kosinus ostrog ugla izmedju dijagonala paralelepipeda

PostPoslato: Četvrtak, 15. Jun 2017, 19:22
od Nađa
Izvinjavam se Daniele, posle sam to shvatila xD ali ne mogu da obrisem taj post sada xD

Re: Kosinus ostrog ugla izmedju dijagonala paralelepipeda

PostPoslato: Četvrtak, 15. Jun 2017, 19:27
od Nađa
Pa osnova ti je pravougaonik, gde znas obe njegove stranice :) [inlmath]a=2[/inlmath] [inlmath]b=3[/inlmath] i preko Pitagorine teoreme izracunas dijagonalu :D Pa ako sam rekla da je pravougaonik [inlmath]ABC_1D_1[/inlmath] zar nije logicno da je trougao [inlmath]BD_1A[/inlmath] pravougli? Dati pravougaonik ima [inlmath]4[/inlmath] prava ugla :) samo povuci dijagonalu [inlmath]BD_1[/inlmath] pa mi reci da li je trougao [inlmath]ABD_1[/inlmath] prav? :) ;)
Samo lepo nacrtaj sliku kvadra i sve ce ti biti jasno :) , sve se sa slike vidi. Kada god nemas ideju sta da radis, a imas podatke date za skicu, crtaj, to ti je moj savet :)

Re: Kosinus ostrog ugla izmedju dijagonala paralelepipeda

PostPoslato: Četvrtak, 15. Jun 2017, 22:48
od jmatija98
Nisam shvatio da je pravougli paralelepiped ustvari kvadar.. hvala

Re: Kosinus ostrog ugla izmedju dijagonala paralelepipeda

PostPoslato: Utorak, 20. Februar 2018, 19:08
od adimitrijevic00
Meni i dalje nije jasno zbog čega je je ugao [inlmath]BD_1A[/inlmath] polovina ostrog ugla između dijagonala. Hvala unapred.

Re: Kosinus ostrog ugla izmedju dijagonala paralelepipeda

PostPoslato: Četvrtak, 22. Februar 2018, 15:34
od Daniel
kvadar.png
kvadar.png (6.64 KiB) Pogledano 57 puta

Jel' sad jasnije?