Stranica 1 od 1

Odrediti ugao

PostPoslato: Utorak, 20. Jun 2017, 21:57
od elektricar
Malo sam caprkao po netu pa sam nasao zadatak sa onog "kengur" takmicenja koje se odrzalo u svim srednjim skolama, da se pohvalim, tacno sam rijesio sve zadatke osim zadnjeg. Zadatak glasi: "Na stranici [inlmath]AC[/inlmath] trougla [inlmath]ABC[/inlmath] data je tacka [inlmath]D[/inlmath] takva da je [inlmath]|DC|=|AB|[/inlmath]. Kolika je mjera ugla [inlmath]BAC[/inlmath], ako su [inlmath]M[/inlmath] i [inlmath]N[/inlmath] redom, sredista duzi [inlmath]AD[/inlmath] i [inlmath]BC[/inlmath] i ako je ugao [inlmath]NMC=\alpha[/inlmath]". Zadatak sam pokusao uraditi na razne nacine :kojik: , ali ni jedan nije mogao. Ima li iko kakvu ideju ili prijedlog. Hvala unaprijed.

Re: Odrediti ugao

PostPoslato: Sreda, 21. Jun 2017, 21:22
od elektricar
Pokusao sam naci neke podudarne uglove ali ne ide :frown: .Zna li iko?

Re: Odrediti ugao

PostPoslato: Sreda, 21. Jun 2017, 22:29
od Corba248
Ja bih radio preko sinusne teoreme, a verujem i da postoji drugi (lakši) način.

Prvo da sredimo oznake. Traženi ugao [inlmath]\angle BAC=\varphi[/inlmath] i ugao [inlmath]\angle ACB=\gamma[/inlmath]. Potom ćemo produžiti stranicu [inlmath]AB[/inlmath] preko temena [inlmath]A[/inlmath] i duž [inlmath]MN[/inlmath] preko temena [inlmath]M[/inlmath]. Presek produžetaka ovih duži označićemo sa [inlmath]S[/inlmath]. Radi lakšeg zapisa uvodimo sledeće oznake:
[inlmath]AM=MD=m\\
AS=q\\
AB=DC=c\\
BN=NC=\frac{a}{2}[/inlmath]
Prvo posmatramo trougao [inlmath]\triangle SNB[/inlmath], a iz njega sinusnom teoremom dobijamo (lako se nalazi da je [inlmath]\angle SNB=\alpha+\gamma[/inlmath] i [inlmath]\angle NSB=\varphi-\alpha[/inlmath]):
[dispmath]\frac{c+q}{\sin\left(\alpha+\gamma\right)}=\frac{a}{2\sin\left(\varphi-\alpha\right)}\;\Longrightarrow\;a\sin\left(\alpha+\gamma\right)=2(c+q)\sin\left(\varphi-\alpha\right)[/dispmath] Iz trougla [inlmath]\triangle MCN[/inlmath] dobijamo (koristimo osobinu sinusa [inlmath]\sin(\pi-x)=\sin x[/inlmath]):
[dispmath]\frac{c+m}{\sin\left(\alpha+\gamma\right)}=\frac{a}{2\sin\alpha}\;\Longrightarrow\;a\sin\left(\alpha+\gamma\right)=2(c+m)\sin\alpha[/dispmath] Izjednačavanjem prethodnog dobijamo:
[dispmath](c+q)\sin\left(\varphi-\alpha\right)=(c+m)\sin\alpha\tag{1}[/dispmath] Ovo nećemo dirati do daljnjeg. Sada iz trougla [inlmath]\triangle SMA[/inlmath] imamo:
[dispmath]\frac{q}{\sin\alpha}=\frac{m}{\sin\left(\varphi-\alpha\right)}\;\Longrightarrow\;\sin\left(\varphi-\alpha\right)=\frac{m\sin\alpha}{q}[/dispmath] Uvrštavanjem ovoga u [inlmath](1)[/inlmath] dobijamo:
[dispmath](c+q)\frac{m\cancel{\sin\alpha}}{q}=(c+m)\cancel{\sin\alpha}\;\Longrightarrow\;\frac{cm}{q}+m=c+m\;\Longrightarrow\;\frac{m}{q}=1\;\Longrightarrow\;m=q[/dispmath] Što znači da je trougao [inlmath]\triangle SMA[/inlmath] jednakokrak, odnosno da je:
[dispmath]\varphi-\alpha=\alpha\;\Longrightarrow\;\enclose{box}{\varphi=2\alpha}[/dispmath]

Re: Odrediti ugao

PostPoslato: Četvrtak, 22. Jun 2017, 14:22
od elektricar
Nisam jos ucio trigonometriju, ali u sustini fora je, koliko sam ja shvatio, pokazati da je trougao [inlmath]ASM[/inlmath] jednakokraki. U svakom slucaju hvala puno.

Re: Odrediti ugao

PostPoslato: Četvrtak, 22. Jun 2017, 14:26
od Corba248
Za koji je onda ovo razred predviđeno?

Re: Odrediti ugao

PostPoslato: Četvrtak, 22. Jun 2017, 14:40
od elektricar
1-2. srednje

Re: Odrediti ugao

PostPoslato: Četvrtak, 22. Jun 2017, 17:04
od Daniel
A da l' ste radili vektore? Vektorski je moguće dokazati (vidi sliku) da je [inlmath]\vec{BA}+\vec{CD}[/inlmath] paralelno sa [inlmath]\vec{NM}[/inlmath]:
[dispmath]\vec{BA}=\vec{BN}+\vec{NM}+\vec{MA}\\
\underline{\vec{CD}=\vec{CN}+\vec{NM}+\vec{MD}}\\
\vec{BA}+\vec{CD}=\cancel{\vec{BN}}+\cancel{\vec{CN}}+2\vec{NM}+\bcancel{\vec{MA}}+\bcancel{\vec{MD}}\\
\Longrightarrow\quad\vec{BA}+\vec{CD}=2\vec{NM}[/dispmath]
uglovi.png
uglovi.png (1.75 KiB) Pogledano 176 puta

Nije nam bitan intenzitet zbira vektora [inlmath]\vec{BA}[/inlmath] i [inlmath]\vec{CD}[/inlmath], već je samo bitno to što odavde sledi da je taj vektorski zbir paralelan s vektorom [inlmath]\vec{NM}[/inlmath].

U produžetku stranice [inlmath]CA[/inlmath] odaberemo tačku [inlmath]T[/inlmath] takvu da je [inlmath]CD=AT[/inlmath] (obeleženo narandžasto na slici). Kako smo pokazali da je [inlmath]\vec{BA}+\vec{CD}[/inlmath] paralelno sa [inlmath]\vec{NM}[/inlmath], to će biti i [inlmath]\vec{BA}+\vec{AT}[/inlmath] paralelno sa [inlmath]\vec{MN}[/inlmath] (budući da je [inlmath]\vec{AT}=\vec{CD}[/inlmath]), a pošto je [inlmath]\vec{BT}=\vec{BA}+\vec{AT}[/inlmath], znači da je [inlmath]BT\parallel NM[/inlmath]. Odatle je, naravno, i [inlmath]BT\parallel MS[/inlmath].

Odatle sledi sličnost trouglova [inlmath]\triangle ATB\sim\triangle AMS[/inlmath], a pošto je [inlmath]\triangle ATB[/inlmath] jednakokraki (jer je [inlmath]AB=AT[/inlmath]), sledi i da je [inlmath]\triangle AMS[/inlmath] jednakokraki ([inlmath]AM=AS[/inlmath]), a odatle i da je ugao [inlmath]\angle ASM[/inlmath] jednak uglu [inlmath]\angle AMS[/inlmath], tj. jednak je uglu [inlmath]\alpha[/inlmath].

Odatle je traženi ugao [inlmath]\angle BAC[/inlmath], naravno, jednak [inlmath]\angle BAC=180^\circ-\angle SAM=180^\circ-(180^\circ-2\alpha)=2\alpha[/inlmath].

Re: Odrediti ugao

PostPoslato: Petak, 23. Jun 2017, 22:27
od elektricar
E sad sam konacno shvatio.Daniele hvala, ti, tacno bih te trebao castit kolko si mi puta pritekao u pomoc.