Stranica 1 od 1

Trapez

PostPoslato: Sreda, 21. Jun 2017, 19:57
od Aleksandargimnazija
Dat je trapez [inlmath]ABCD[/inlmath] čije su osnovice [inlmath]AB=8[/inlmath] i [inlmath]CD=4[/inlmath]. Na produzetku stranice [inlmath]CD[/inlmath] izabrana je tacka [inlmath]M[/inlmath] tako da prava [inlmath]AM[/inlmath] odseca od trapeza trougao cija je povrsina [inlmath]4[/inlmath] puta manja od povrsine trapeza. Odrediti duzinu odsecka [inlmath]CM[/inlmath]?
Zadatak sam pokušao da rešim, al mi najveći problem predstavlja kako da izrazim površinu trapeza, tj. preko kojih stranica.
Hvala unapred :)

Re: Trapez

PostPoslato: Sreda, 21. Jun 2017, 21:03
od Nađa
Pokusala sam ovako da resim, ne znam da li je tacno...
Ako se za raspored tacaka uzme [inlmath]DCM[/inlmath] onda [inlmath]AM[/inlmath] sece trapez u cetvorougao, tako da je verovatnije da je raspored tacaka [inlmath]DMC[/inlmath]. Kako je povrsina trapeza [inlmath]6h[/inlmath] onda je cetvrtina od toga [inlmath]\frac{6h}{4}[/inlmath], sto je povrsina trougla [inlmath]AMD[/inlmath]. Ona se moze izracunati kao [inlmath]\frac{DM\cdot h}{2}[/inlmath].
Na kraju kada se izjednace formule treba da se dobije da je [inlmath]DM=3[/inlmath] i kada se od toga oduzme [inlmath]DC[/inlmath] dobice se koliko je [inlmath]CM[/inlmath].

Re: Trapez

PostPoslato: Sreda, 21. Jun 2017, 23:15
od bole
Što se tiče Nadjinog odgovora ako se uzme položaj tačaka [inlmath]DCM[/inlmath], prava [inlmath]AM[/inlmath] će odsijecati trougao, ali ispod prave, vjerovatno je posmatran dio trapeza iznad prave [inlmath]AM[/inlmath] koji je četvorougao. Zadatak treba rješavati sa upravo tim položajem tačaka pošto je tačka na produžetku prave.
Da to predstavimo i slikovito

trapez.png
trapez.png (2.44 KiB) Pogledano 551 puta

Na slici je sa [inlmath]N[/inlmath] označen presjek strane [inlmath]AM[/inlmath] sa stranom [inlmath]BC[/inlmath].
Ja bih ovaj zadatak rješavao na sljedeći način. Prvo bih pokazao sličnost trougla [inlmath]ABN[/inlmath] i trougla [inlmath]NMC[/inlmath],
a zatim izrazio,
površinu trougla [inlmath]AMD[/inlmath] preko visine [inlmath]h[/inlmath],
površinu četvorougla [inlmath]ANCD[/inlmath] preko visine [inlmath]h[/inlmath],
površinu trougla [inlmath]NMC[/inlmath] preko visine [inlmath]h[/inlmath], kao razliku površine trougla [inlmath]AMD[/inlmath] i četvorougla [inlmath]ANCD[/inlmath],
površinu trougla [inlmath]ABN[/inlmath] preko visine [inlmath]h[/inlmath],
površinu trougla [inlmath]ABM[/inlmath] preko visine [inlmath]h[/inlmath],
površinu trougla [inlmath]BNM[/inlmath] preko visine [inlmath]h[/inlmath], kao razliku površine trougla [inlmath]ABM[/inlmath] i površine trougla [inlmath]ABN[/inlmath],
našao vezu između visina [inlmath]h[/inlmath] i [inlmath]h_1[/inlmath]
izrazio površine trouglova [inlmath]ABN[/inlmath] i [inlmath]NMC[/inlmath] preko visine [inlmath]h_1[/inlmath], a samim tim preko visine [inlmath]h[/inlmath].
Iz odnosa njihovih površina, koje smo izveli na dva načina, lako se dolazi da je dužina tražene strane [inlmath]CM=\frac{40}{3}[/inlmath].
Računanje potrebnih elemenata ostavljam za samostalan rad :D

Re: Trapez

PostPoslato: Sreda, 21. Jun 2017, 23:17
od Daniel
Nađa je napisao:Ako se za raspored tacaka uzme [inlmath]DCM[/inlmath] onda [inlmath]AM[/inlmath] sece trapez u cetvorougao, tako da je verovatnije da je raspored tacaka [inlmath]DMC[/inlmath].

U zadatku je lepo rečeno,
Aleksandargimnazija je napisao:Na produzetku stranice [inlmath]CD[/inlmath] izabrana je tacka [inlmath]M[/inlmath]

a slika bi izgledala ovako:

trapez.png
trapez.png (1.06 KiB) Pogledano 551 puta

Prvo se posmatra trougao [inlmath]\triangle ABN[/inlmath] i odredi se visina iz [inlmath]N[/inlmath] na stranicu [inlmath]AB[/inlmath], u funkciji visine trapeza. Odatle je jasno koliko će u trouglu [inlmath]\triangle MNC[/inlmath] iznositi visina iz [inlmath]N[/inlmath] na stranicu [inlmath]MC[/inlmath]. A pošto su ta dva trougla slična, može se, na osnovu odnosa njihovih visina na stranice [inlmath]AB[/inlmath] i [inlmath]MC[/inlmath], odrediti i odnos stranica [inlmath]AB[/inlmath] i [inlmath]MC[/inlmath]. Stranica [inlmath]AB[/inlmath] nam je poznata...

EDIT1: Ups, preduhitri me bole, al' neka, nek' ostane kad sam već napisao... od viška glava ne boli. :)
EDIT2: Sad videh da nam rešenja i nisu baš identična (iako skice jesu). Tako da, definitivno je bolje da stoje oba načina. ;)

Re: Trapez

PostPoslato: Sreda, 21. Jun 2017, 23:35
od bole
Ja sam to malo zakomplikovao, kao što inače volim. Nisam ni pogledao sličnost trouglova na početku, pa sam tek na kraju rješavanja primijetio da su slični trouglovi, kad sam morao iskopati nešta da završim zadatak :D. Inače Danielovo rješenje je mnogo jednostavnije.

Re: Trapez

PostPoslato: Četvrtak, 22. Jun 2017, 16:09
od Aleksandargimnazija
Hvala vam, najbolji ste :)