Simetrala pravog ugla u pravouglom trouglu – probni prijemni FON 2017.

PostPoslato: Četvrtak, 22. Jun 2017, 18:06
od MilosNinkovic99
Ako su dužine kateta [inlmath]AB[/inlmath] i [inlmath]AC[/inlmath] pravouglog trougla [inlmath]ABC[/inlmath], redom [inlmath]7\text{ cm}[/inlmath] i [inlmath]15\text{ cm}[/inlmath] i ako simetrala pravog ugla seče hipotenuzu u tački [inlmath]S[/inlmath], onda je dužina duži [inlmath]AS[/inlmath] jednaka:
Tačno rješenje je [inlmath]\frac{105\sqrt2}{22}[/inlmath]

Nacrtao sam skicu, ali iz nje ne mogu da izvučem nikakvu vezu niti da nađem neki trougao na kojem mogu da primjenim pitagorinu teoremu. Može neka ideja?
Ovo je zadatak sa probnog prijemnog na FON-u koji je rađen danas.

Re: Simetrala pravog ugla u pravouglom trouglu – probni prijemni FON 2017.

PostPoslato: Četvrtak, 22. Jun 2017, 18:13
od Daniel
Sa [inlmath]M[/inlmath] označi projekciju tačke [inlmath]S[/inlmath] na katetu [inlmath]AB[/inlmath].
Zatim iskoristi sličnost trouglova [inlmath]\triangle ABC[/inlmath] i [inlmath]\triangle MBS[/inlmath].

Re: Simetrala pravog ugla u pravouglom trouglu – probni prijemni FON 2017.

PostPoslato: Četvrtak, 22. Jun 2017, 18:24
od MilosNinkovic99
Hvala!

Re: Simetrala pravog ugla u pravouglom trouglu – probni prijemni FON 2017.

PostPoslato: Četvrtak, 22. Jun 2017, 19:10
od Nađa
Da li je duzina [inlmath]MB[/inlmath], kada se [inlmath]M[/inlmath] spusti na katetu [inlmath]AB[/inlmath] polovina od [inlmath]AB[/inlmath]?

Re: Simetrala pravog ugla u pravouglom trouglu – probni prijemni FON 2017.

PostPoslato: Četvrtak, 22. Jun 2017, 19:14
od Daniel
Nije.

Re: Simetrala pravog ugla u pravouglom trouglu – probni prijemni FON 2017.

PostPoslato: Četvrtak, 22. Jun 2017, 19:55
od Nađa
Aha, [inlmath]SB[/inlmath] sam oznacila sa [inlmath]a-x[/inlmath], a [inlmath]MB[/inlmath] sa [inlmath]c-x[/inlmath] a [inlmath]SM[/inlmath] sa [inlmath]x[/inlmath] i preko slicnosti se dobije za [inlmath]x[/inlmath] da je [inlmath]x=\frac{105}{22}[/inlmath] odnosno da je [inlmath]AS=x\cdot\sqrt2=\frac{105\cdot\sqrt2}{22}[/inlmath]
Hvala na ideji :D

Re: Simetrala pravog ugla u pravouglom trouglu – probni prijemni FON 2017.

PostPoslato: Petak, 23. Jun 2017, 19:11
od Luka
kako znam da je [inlmath]CS=AM[/inlmath]?

Re: Simetrala pravog ugla u pravouglom trouglu – probni prijemni FON 2017.

PostPoslato: Petak, 23. Jun 2017, 19:25
od Nađa
Mislis kako je [inlmath]CS=SM[/inlmath]?

Pa u trouglu [inlmath]ACS[/inlmath] naspram [inlmath]\frac{\alpha}{2}[/inlmath] je [inlmath]CS[/inlmath] a u trouglu [inlmath]AMS[/inlmath] naspram [inlmath]\frac{\alpha}{2}[/inlmath] je [inlmath]SM[/inlmath]

Re: Simetrala pravog ugla u pravouglom trouglu – probni prijemni FON 2017.

PostPoslato: Petak, 23. Jun 2017, 19:28
od Daniel
Niti je [inlmath]CS=AM[/inlmath], niti je [inlmath]CS=SM[/inlmath], niti je iko ovde uopšte spomenuo bilo koju od te dve jednakosti.
Molim vas da koristite Latex :!:

Re: Simetrala pravog ugla u pravouglom trouglu – probni prijemni FON 2017.

PostPoslato: Petak, 23. Jun 2017, 20:19
od Nađa
Da se ispravim, moj prethodni post je sasvim netacan, izvinjavam se.
Ovako kako mi je [inlmath]AM=SM[/inlmath] pa ovako ugao kod temena [inlmath]A[/inlmath] je prav zar ne? Kada se nacrta simetrala ugla, ugao kod temena [inlmath]A[/inlmath] deli na polovine. Polovina od pravog ugla je [inlmath]45^\circ[/inlmath]. Zatim kada smo oznacili simetralu sa [inlmath]AS[/inlmath] i spustili normalu odnosno projekciju tacke [inlmath]S[/inlmath], dobija se trougao [inlmath]AMS[/inlmath] u tom trouglu imamo prav ugao jer je normala spustena i [inlmath]45^\circ[/inlmath] odnosno polovinu ugla kod temena [inlmath]A[/inlmath]. Sad jedina vrednost treceg ugla moze da bude isto [inlmath]45^\circ[/inlmath] tako da je trougao [inlmath]AMS[/inlmath] jednakokraki, zbog toga kada sam [inlmath]SM[/inlmath] oznacila sa [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]AM[/inlmath] sam oznacila sa [inlmath]x[/inlmath]. Ostatak mog postupka resavanja nadam se da je jasan.

Re: Simetrala pravog ugla u pravouglom trouglu – probni prijemni FON 2017.

PostPoslato: Subota, 24. Jun 2017, 00:19
od Corba248
Da dodam još jedan način rešavanja (manje kreativan nego ovde izložen doduše). Preko površina.
Površina truogla [inlmath]\triangle ABC[/inlmath] je:
[dispmath]P=\frac{15\cdot7}{2}=\frac{105}{2}[/dispmath] Istu ovu površinu možemo izraziti i kao zbir površina trouglova [inlmath]\triangle ACS[/inlmath] i [inlmath]\triangle ABS[/inlmath] (uglovi [inlmath]\angle CAS[/inlmath] i [inlmath]\angle SAB[/inlmath] su jednaki i iznose [inlmath]45^\circ[/inlmath]):
[dispmath]P=\frac{15s_a\sin45^\circ}{2}+\frac{7s_a\sin45^\circ}{2}=\frac{11s_a\sqrt2}{2}[/dispmath] Izjednačavanjem dobijamo:
[dispmath]\frac{105}{2}=\frac{11s_a\sqrt2}{2}\;\Longrightarrow\;\enclose{box}{s_a=\frac{105\sqrt2}{22}}[/dispmath]