Odnos visine i tezisne duzi u pravouglom trouglu

PostPoslato: Subota, 24. Jun 2017, 07:40
od Nađa
Ako je [inlmath]40:41[/inlmath] odnos visine i tezisne duzi koje odgovaraju hipotenuzi pravouglog trougla, onda je odnos kateta jednak cemu?
Resenje je [inlmath]4:5[/inlmath].
Pokusala sam preko slicnosti da resim zadatak ali izgleda da nisam dobre trouglove posmatrala...visinu sam oznacila sa [inlmath]CS[/inlmath] a tezisnu duz sa [inlmath]CD[/inlmath]. Posmatrala sam trougao [inlmath]ABC[/inlmath] i [inlmath]CSD[/inlmath] oba imaju prav ugao...
[dispmath]\frac{CD}{C}=\frac{x}{a}=\frac{h}{b}[/dispmath] i za [inlmath]b[/inlmath] sam dobila da je [inlmath]\frac{40}{41}\cdot c[/inlmath] i onda sam mislila i da katetu [inlmath]a[/inlmath] izrazim preko hipotenuze i kada trazim odnos te dve kateta skratice se hipotenuze... za [inlmath]a[/inlmath] preko Pitagorine teoreme dobijam [inlmath]a=\frac{9}{41}\cdot c[/inlmath] i za odnos [inlmath]a:b=9:40[/inlmath], gde sam pogresila? Kako da uradim zadatak?

Re: Odnos visine i tezisne duzi u pravouglom trouglu

PostPoslato: Subota, 24. Jun 2017, 10:09
od bobanex
hint: Dužina ove težišne duži je polovina dužine hipotenuze.
Zadatak je čisto računski.

Re: Odnos visine i tezisne duzi u pravouglom trouglu

PostPoslato: Subota, 24. Jun 2017, 19:39
od jmatija98
I sta onda dobijamo tim? Da [inlmath]c[/inlmath] izrazimo preko kateta, a sta sa visinom?

Re: Odnos visine i tezisne duzi u pravouglom trouglu

PostPoslato: Subota, 24. Jun 2017, 21:10
od bobanex
Izrazite i visinu preko stranica.

Re: Odnos visine i tezisne duzi u pravouglom trouglu

PostPoslato: Subota, 24. Jun 2017, 23:18
od bobanex
[dispmath]\frac{t}{h}=\frac{41}{40}\\
h=\frac{ab}{c}\\
t=\frac{c}{2}\\
\frac{t}{h}=\frac{\frac{c}{2}}{\frac{ab}{c}}=\frac{c^2}{2ab}=\frac{a^2+b^2}{2ab}[/dispmath] Hoće neko da nastavi?

Re: Odnos visine i tezisne duzi u pravouglom trouglu

PostPoslato: Nedelja, 25. Jun 2017, 01:14
od Corba248
[dispmath]\frac{41}{40}=\frac{a^2+b^2}{2ab}=\frac{a}{2b}+\frac{b}{2a}=\frac{1}{2}\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\\
\frac{41}{20}=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}[/dispmath] Uvodimo smenu [inlmath]t=\frac{a}{b}[/inlmath] i dobijamo kvadratnu jednačinu čija su rešenja [inlmath]\frac{4}{5}[/inlmath] i [inlmath]\frac{5}{4}[/inlmath]. Dosta posla. Može biti da ima i neki lakši način?

Re: Odnos visine i tezisne duzi u pravouglom trouglu

PostPoslato: Nedelja, 25. Jun 2017, 03:02
od jmatija98
Smena mi nije pala na pamet, mislio sam da gresim, hvala!

Re: Odnos visine i tezisne duzi u pravouglom trouglu

PostPoslato: Petak, 30. Jun 2017, 11:34
od Daniel
Nađa je napisao:za [inlmath]a[/inlmath] preko Pitagorine teoreme dobijam [inlmath]a=\frac{9}{41}\cdot c[/inlmath] i za odnos [inlmath]a:b=9:40[/inlmath], gde sam pogresila? Kako da uradim zadatak?

Pa, pogrešila si u tome što si odnos [inlmath]\frac{CD}{c}[/inlmath] izjednačila sa [inlmath]\frac{x}{a}[/inlmath] odnosno sa [inlmath]\frac{h}{b}[/inlmath], zaista ne znam odakle ti to... Važilo bi [inlmath]\frac{CD}{c}=\frac{h}{b}[/inlmath] kada bi trouglovi [inlmath]\triangle ABC[/inlmath] i [inlmath]\triangle CDS[/inlmath] bili slični, što definitivno nije slučaj.
Nadam se da nisi samo na osnovu podatka
Nađa je napisao:Posmatrala sam trougao [inlmath]ABC[/inlmath] i [inlmath]CSD[/inlmath] oba imaju prav ugao...

zaključila da su ta dva trougla slična? :wtf: :kojik:

Corba248 je napisao:i dobijamo kvadratnu jednačinu čija su rešenja [inlmath]\frac{4}{5}[/inlmath] i [inlmath]\frac{5}{4}[/inlmath]. Dosta posla. Može biti da ima i neki lakši način?

Logično je da nam kvadratna jednačina ne gine, jer je isto tako logično da za odnos kateta moramo dobiti dva rešenja (međusobno recipročna), budući da smo mogli kraću katetu obeležiti sa [inlmath]a[/inlmath] a dužu sa [inlmath]b[/inlmath], kao i obratno. Za slučaj [inlmath]a<b[/inlmath] odgovaralo bi rešenje [inlmath]\frac{a}{b}=\frac{4}{5}[/inlmath], dok bi za slučaj [inlmath]a>b[/inlmath] odgovaralo rešenje [inlmath]\frac{a}{b}=\frac{5}{4}[/inlmath]. Do takvog para rešenja se ne može doći bez kvadratne jednačine.

Možda bi za nijansu jednostavniji postupak bio preko trige, mada ni u tom slučaju ne gine kvadratna. Obeležimo kraću katetu sa [inlmath]a[/inlmath] (time već znamo da ćemo jedno rešenje kvadratne jednačine odbaciti), a njoj naspramni ugao sa [inlmath]\alpha[/inlmath]. Uočimo da je [inlmath]\angle CDB=2\alpha[/inlmath]. Tada je
[dispmath]\sin2\alpha=\sin\angle CDS=\frac{CS}{CD}=\frac{40}{41}[/dispmath] Izrazimo sinus dvostrukog ugla preko tangensa,
[dispmath]\frac{2\text{tg }\alpha}{1+\text{tg}^2\alpha}=\frac{40}{41}[/dispmath] i rešimo kvadratnu po [inlmath]\text{tg }\alpha[/inlmath] (koji upravo i predstavlja odnos kateta), uz već pomenuto odbacivanje rešenja koje bi odgovaralo slučaju [inlmath]a>b[/inlmath]...

Odnos visine i tezisne duzi u pravouglom trouglu

PostPoslato: Utorak, 05. Jun 2018, 23:43
od aleksa123
* MOD EDIT * Spojene dve teme s istim zadatkom

Drugi problem koji me muci, je ovaj:
Ako je [inlmath]40:41[/inlmath] odnos visine i tezisne duzi koje odgovaraju hipotenuzi pravouglog trougla, onda je odnos kateta tog trougla jednak...

nicee.png
nicee.png (10.41 KiB) Pogledano 1513 puta

Iz odnosa kojeg sam dobio sam nasao [inlmath]c_1=9k[/inlmath], [inlmath]h_c=40k[/inlmath], [inlmath]t_c=41k[/inlmath]. Ummmm, dosta sam radio ovaj zadatak, bas sam razocaran sto ga nisam resio. Ne znam kako da napisem sta sam nasao zato sto je sve sto sam nasao cudno. Npr. preko odnosa trouglova [inlmath]CDA[/inlmath] i [inlmath]CEA[/inlmath], nisam ni siguran da su ovi trouglovi slicni, ali reko sto da ne... [inlmath]c_1:\left(\frac{c}{2}−c_1\right)=t_c:b[/inlmath] i onda je [inlmath]b=\frac{41c+738k}{18}[/inlmath], pokusao sam sa tim da idem dalje, ali nije islo...

Re: Odnos visine i tezisne duzi u pravouglom trouglu

PostPoslato: Sreda, 06. Jun 2018, 00:14
od miletrans
Trouglovi [inlmath]CDA[/inlmath] i [inlmath]CEA[/inlmath] nikako ne mogu da budu slični (jedan od njih je pravougli, a drugi nije). Ono što treba da iskoristiš je činjenica da visina na hipotenuzu predstavlja geometrijsku sredinu odsečaka na hipotenuzi. Ako [inlmath]BD[/inlmath] obeležimo sa [inlmath]p[/inlmath], a [inlmath]DA[/inlmath] sa [inlmath]q[/inlmath] (samo zbog jednostavnosti), onda možemo da pišemo:
[dispmath]40k=\sqrt{pq}[/dispmath] Iskoristićemo i činjenicu da je [inlmath]BE=EA[/inlmath], odnosno:
[dispmath]p+9k=q-9k[/dispmath] Iz ove dve jednačine ne bi trebalo da je problem odrediti dužine kateta u zavisnosti od [inlmath]k[/inlmath].

Re: Odnos visine i tezisne duzi u pravouglom trouglu

PostPoslato: Sreda, 06. Jun 2018, 01:50
od aleksa123
Jos jedno malo pitanjce...
[dispmath]40k=\sqrt{pg}\\
\underline{q-p=18k}[/dispmath] Ja sad racunam ovo i dolazim do komplikovanih resenja, nije ni bitno. Pokusao sam da samo ignorisem ovo [inlmath]k[/inlmath], i dobio sam tacno resenje - zbunjen sam...

verinajs.png
nova slika, sa obelezenim stranicama p i q, da se ne bih zbunio
verinajs.png (9.17 KiB) Pogledano 137 puta

[inlmath]a^2=pc[/inlmath], [inlmath]b^2=qc[/inlmath], [inlmath]\frac{a}{b}=\sqrt{\frac{p}{q}}[/inlmath].
ovako ide kad ignorisem [inlmath]k[/inlmath] i samo ga vratim na kraju -
[inlmath]40=\sqrt{pq}[/inlmath], [inlmath]q-p=18[/inlmath].
[inlmath]q=50(k)[/inlmath], a [inlmath]p=32(k)[/inlmath], bla bla bla - [inlmath]\frac{a}{b}=\frac{4}{5}[/inlmath] sto je tacan odgovor. I dont get it.

Re: Odnos visine i tezisne duzi u pravouglom trouglu

PostPoslato: Sreda, 06. Jun 2018, 08:25
od miletrans
aleksa123 je napisao:[inlmath]a^2=pc[/inlmath], [inlmath]b^2=qc[/inlmath], [inlmath]\frac{a}{b}=\sqrt{\frac{p}{q}}[/inlmath].

Odakle ti ovo? Krenuo si (netačno) ovako, pa si se vratio "na pravi kolosek".

aleksa123 je napisao:...ovako ide kad ignorisem [inlmath]k[/inlmath] i samo ga vratim na kraju...

Upravo ti je ovde ključ rešenja. Pošto ti treba odnos stranica, treba i jednu i drugu da izraziš u funkciji [inlmath]k[/inlmath]. Dakle, pokušaj da računaš kao da ti je to [inlmath]k[/inlmath] poznato:
[dispmath]40k=\sqrt{pq}\\
1600k=pq[/dispmath] Smemo ovo da uradimo bez bojazni pošto govorimo o dužinama, pa su obe strane sigurno pozitivne.
[dispmath]q-9k=p+9k\\
q=p+18k\\
p^2+18pk-1600k=0[/dispmath] Sada, kao što rekoh rešavamo ovu jednačinu kao da znamo koliko je [inlmath]k[/inlmath]. Ne zanima nas da li to [inlmath]k[/inlmath] iznosi [inlmath]6[/inlmath], [inlmath]54[/inlmath] ili [inlmath]e^{\sqrt\pi}[/inlmath]. Dobijamo rešenja:
[dispmath]p_1=32k\\
\cancel{p_2=-50k}[/dispmath] Dalje bi trebalo da je lako...

Re: Odnos visine i tezisne duzi u pravouglom trouglu

PostPoslato: Sreda, 06. Jun 2018, 09:39
od bobanex
Sva tri zadatka koja je aleksa123 sinoć postavio su već ranije rešena na forumu.

Re: Odnos visine i tezisne duzi u pravouglom trouglu

PostPoslato: Sreda, 06. Jun 2018, 19:16
od Daniel
aleksa123 je napisao:Npr. preko odnosa trouglova [inlmath]CDA[/inlmath] i [inlmath]CEA[/inlmath], nisam ni siguran da su ovi trouglovi slicni, ali reko sto da ne... [inlmath]c_1:\left(\frac{c}{2}−c_1\right)=t_c:b[/inlmath] i onda je [inlmath]b=\frac{41c+738k}{18}[/inlmath],

Sve i da su ovi trouglovi slični (a nisu), proporcija nit je dobro postavljena, nit se iz tako postavljene proporcije dobije takav rezultat po [inlmath]b[/inlmath].

aleksa123 je napisao:ovako ide kad ignorisem [inlmath]k[/inlmath] i samo ga vratim na kraju -
[inlmath]40=\sqrt{pq}[/inlmath], [inlmath]q-p=18[/inlmath].
[inlmath]q=50(k)[/inlmath], a [inlmath]p=32(k)[/inlmath], bla bla bla - [inlmath]\frac{a}{b}=\frac{4}{5}[/inlmath] sto je tacan odgovor. I dont get it.

Ne treba to da te čudi. Imao si polazni sistem [inlmath]\begin{array}{l} 40k=\sqrt{pq}\\ q-p=18k \end{array}[/inlmath], iz kojeg, ako u obe jednačine podeliš obe strane sa [inlmath]k[/inlmath], dobiješ sistem [inlmath]\begin{array}{l} 40=\sqrt{\frac{p}{k}\cdot\frac{q}{k}}\\ \frac{q}{k}-\frac{p}{k}=18 \end{array}[/inlmath]. To je zapravo to što si ti rešavao kada si „ignorisao [inlmath]k[/inlmath]“. Dakle, ti si dobio rešenja ne po [inlmath]p[/inlmath] i [inlmath]q[/inlmath], već rešenja po [inlmath]\frac{p}{k}[/inlmath] i [inlmath]\frac{q}{k}[/inlmath]. Nakon toga, samo ta svoja rešenja pomnožiš sa [inlmath]k[/inlmath] i dobiješ [inlmath]p[/inlmath] i [inlmath]q[/inlmath].

miletrans je napisao:
aleksa123 je napisao:[inlmath]a^2=pc[/inlmath], [inlmath]b^2=qc[/inlmath], [inlmath]\frac{a}{b}=\sqrt{\frac{p}{q}}[/inlmath].

Odakle ti ovo?

Ni meni nije bilo baš očigledno. Dotle se može doći na sledeći način:
[dispmath]\left.\begin{array}{l}
a^2=p^2+h_c^2\\
h_c^2=pq
\end{array}\right\}\quad\Longrightarrow\quad a^2=p^2+pq=p(p+q)=pc[/dispmath] Slično i za [inlmath]b^2=qc[/inlmath]...

bobanex je napisao:Sva tri zadatka koja je aleksa123 sinoć postavio su već ranije rešena na forumu.

Tačno. Ovaj zadatak je bio ovde.