Stranica 1 od 1

Obim trougla – MATF prijemni, 2017.

PostPoslato: Utorak, 05. Septembar 2017, 13:09
od Dragan
Prijemni ispit MATF – 28. jun 2017.
8. zadatak


Simetrala unutrašnjeg ugla kod temena [inlmath]A[/inlmath] trougla [inlmath]ABC[/inlmath] seče stranicu [inlmath]BC[/inlmath] u tački [inlmath]D[/inlmath] tako da je [inlmath]BD=9[/inlmath] i [inlmath]DC=12[/inlmath]. Ako je [inlmath]O[/inlmath] centar upisanog kruga datog trougla i [inlmath]AO:OD=4:3[/inlmath], onda je obim trougla [inlmath]ABC[/inlmath] jednak:
[inlmath]A)\;63\quad[/inlmath] [inlmath]B)\;56\quad[/inlmath] [inlmath]C)\;48\quad[/inlmath] [inlmath]D)\;42\quad[/inlmath] [inlmath]E)\;49[/inlmath]
Zadatak deluje lagan ali nisam uspeo da ga resim

Re: Obim trougla – MATF prijemni, 2017.

PostPoslato: Utorak, 05. Septembar 2017, 18:07
od pentagram142857
Pre svega, dobrodosao na forum :) . Dobio sam da je resenje [inlmath]49[/inlmath]. Treba da se iskoriste [inlmath]5[/inlmath] sinusnih teorema. Prva sinusna teorema za trougao [inlmath]ABD[/inlmath], za stranice [inlmath]BD[/inlmath] i [inlmath]AD[/inlmath]. Druga sinusna teorema za trougao [inlmath]ADC[/inlmath] za stranice [inlmath]DC[/inlmath] i [inlmath]AD[/inlmath]. Kada se podele te dve teoreme dobija se odnos sinusa. Zatim, treca sinusna teorema - trougao [inlmath]ABC[/inlmath] - stranice [inlmath]AB[/inlmath] i [inlmath]AC[/inlmath]. Pomocu onog odnosa sinusa iz prve dve teoreme i ove trece teoreme se dobija odnos preostale dve stranice trougla [inlmath]ABC[/inlmath], tj. [inlmath]AB=\frac{4}{3}AC[/inlmath]. Cetvrta sinusna teorema - trougao [inlmath]BED[/inlmath] (inace, stranica [inlmath]BF[/inlmath] je simetrala ugla kod temena [inlmath]B[/inlmath]) - stranice [inlmath]BD[/inlmath] i [inlmath]ED[/inlmath]. Peta sinusna teorema - trougao [inlmath]BEA[/inlmath] - stranice [inlmath]AE[/inlmath] i [inlmath]AB[/inlmath]. Naravno, sinus ugla [inlmath]t[/inlmath] je isti kao i sinus njegovog suplementarnog ugla. Iz cetvrte i pete teoreme se dobije da je [inlmath]AB=12[/inlmath]. I da, u paintu nema grcki alfabet, pa sam uglove oznacavao slovima.

Untitled.png
Untitled.png (2.44 KiB) Pogledano 1071 puta

Re: Obim trougla – MATF prijemni, 2017.

PostPoslato: Utorak, 05. Septembar 2017, 18:29
od Igor
Dragane, dobro došao na Matemaniju :) . Moram da ti skrenem pažnju na pravila za korišćenje Latexa na forumu, koja je potrebno da pročitaš i primenjuješ. Ona se nalaze ovde: uputstvo za Latex

Re: Obim trougla – MATF prijemni, 2017.

PostPoslato: Utorak, 05. Septembar 2017, 22:04
od Daniel
Sitna ispravka,
pentagram142857 je napisao:[inlmath]AB=\frac{4}{3}AC[/inlmath].

umesto ovoga treba ili [inlmath]AC=\frac{4}{3}AB[/inlmath] ili [inlmath]AB=\frac{3}{4}AC[/inlmath].

Igor je napisao:Dragane, dobro došao na Matemaniju :) . Moram da ti skrenem pažnju na pravila za korišćenje Latexa na forumu, koja je potrebno da pročitaš i primenjuješ. Ona se nalaze ovde: uputstvo za Latex

Upravo tako. Osim toga, Dragane, skrenuo bih ti pažnju i na tačku 6. Pravilnika. Dobio si sad odgoovr, ali radi budućih postova.

Re: Obim trougla – MATF prijemni, 2017.

PostPoslato: Utorak, 05. Septembar 2017, 23:51
od Dragan
Hvala puno :D Ovo je inace 8. zadatak sa prijemnog na MATF-u ove godine, ako neko moze nek stavi link.

Re: Obim trougla – MATF prijemni, 2017.

PostPoslato: Sreda, 06. Septembar 2017, 01:33
od Daniel
Hvala, stavio sam link.

Inače, zadatak se može i jednostavnije rešiti, ako se iskoristi osobina trougla da simetrala unutrašnjeg ugla u trouglu deli naspramnu stranicu u odnosu susednih strana:

odnos.png
odnos.png (980 Bajta) Pogledano 1038 puta
[dispmath]x:y=b:c[/dispmath] (Ova osobina se sinusnom teoremom dokazuje u par redova.)

Na osnovu trougla [inlmath]\triangle ABD[/inlmath] (s Pentagramove slike, ne ove iznad!) i pomenute osobine nađe se stranica [inlmath]AB[/inlmath], a zatim se na osnovu trougla [inlmath]\triangle ABC[/inlmath] i pomenute osobine nađe i stranica [inlmath]AC[/inlmath].