Stranica 1 od 1

Konstrukcija trougla ako su položajem date tri tačke

PostPoslato: Utorak, 17. Oktobar 2017, 12:18
od Gogele
Zdravo! Imam problem sa sledećim zadatkom:

Konstruisati trougao ako su položajem date sledeće tačke: teme [inlmath]C[/inlmath], centar upisane kružnice [inlmath]I[/inlmath] i centar opisane kružnice [inlmath]O[/inlmath].

Moje rešenje:

1) Analiza:

Pretpostavimo da je zadatak rešen. Neka je trougao [inlmath]ABC[/inlmath] traženi trougao. Imamo da postoji tačka [inlmath]\left\{M\right\}=k(O,|OC|)\cap\text{sim }[AB]\cap p(C,I)[/inlmath]. Dakle, tačka [inlmath]M[/inlmath] se može konstruisati.

Dalje ne znam šta bi trebalo da uradim. Rešenje zadatka sugestuje da se konstrukcijom kružnice [inlmath]k(M,|MI|)[/inlmath] dobijaju i temena [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath], ali ne znam kako se može dokazati da je [inlmath]|MA|=|MB|=|MI|[/inlmath].

Molim vas, možete li mi reći šta bi trebalo uraditi u ovom zadatku?

Re: Konstrukcija trougla ako su položajem date tri tačke

PostPoslato: Utorak, 17. Oktobar 2017, 16:16
od Gogele
Mislim da je ovo rešenje:

1) Analiza:
Pretpostavimo da je zadatak rešen. Neka je [inlmath]ABC[/inlmath] traženi trougao. Imamo da postoji tačka [inlmath]M=k(O,|OC|)\cap\text{sim }[AB]\cap p(C,I)[/inlmath]. Dakle, tačka [inlmath]M[/inlmath] se može konstruisati.
[dispmath]\angle ICA=\frac{\gamma}{2},\,\angle CAI=\frac{\alpha}{2}\;\Longrightarrow\;\angle AIM=\frac{\alpha}{2}+\frac{\gamma}{2}\\
\angle BAM=\angle ACM=\frac{\gamma}{2}\,\text{(periferni uglovi nad istim lukom)}\\
\angle IAM=\angle IAB+\angle BAM=\frac{\alpha}{2}+\frac{\gamma}{2}[/dispmath] Odavde sledi da je trougao [inlmath]AIM[/inlmath] jednakokraki sa vrhom u [inlmath]M[/inlmath], pa je zbog toga [inlmath]|MA|=|MI|[/inlmath].

Analogno se zaključuje i da je trougao [inlmath]MBI[/inlmath] jednakokraki sa vrhom u [inlmath]M[/inlmath], odakle sledi da je [inlmath]|MI|=|MB|[/inlmath]. Dakle [inlmath]A[/inlmath], [inlmath]I[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath] pripadaju kružnici [inlmath]k(M,|MI|)[/inlmath]. Odavde sledi da se [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath] nalaze u preseku kružnica [inlmath]k(O,|OC|),\,k(M,|MI|)[/inlmath], pa se i ta dva temena mogu konstruisati.

Re: Konstrukcija trougla ako su položajem date tri tačke

PostPoslato: Sreda, 21. Mart 2018, 17:33
od menhur
zdravo.
da li se spomenuta tačka [inlmath]M[/inlmath] nalazi na kružnici opisanoj oko trougla?

hvala.

Re: Konstrukcija trougla ako su položajem date tri tačke

PostPoslato: Sreda, 21. Mart 2018, 19:59
od Daniel
Odgovor imaš u ovoj rečenici:
Gogele je napisao:Imamo da postoji tačka [inlmath]M=k(O,|OC|)\cap\text{sim }[AB]\cap p(C,I)[/inlmath].