Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI GEOMETRIJA

Polulopta od trapeza u tifani tehnici

[inlmath]\triangle ABC\sim\triangle A'B'C'[/inlmath]

Polulopta od trapeza u tifani tehnici

Postod veljor » Četvrtak, 19. Oktobar 2017, 20:52

Nisam neki matematicar pa mi je potrebna pomoc da bih napravio jednu lampu u tifani tehnici, E za to mi je potrebno da konstruisem poluloptu od trapeza. Broj trapeza u prvom redu na osnovi polulopte je [inlmath]32[/inlmath], veca osnova [inlmath]4\text{ cm}[/inlmath], visina svakog trapeza je takodje [inlmath]4\text{ cm}[/inlmath], stranice svih trapeza su kruzni odseseci sa uglom izmedju poluprecnika od [inlmath]11.5[/inlmath] stepeni, ili tangente tog kruga sa uglom od takodje [inlmath]11,5[/inlmath] stepeni. Bolje da objasnim sta mi treba - ne umem! Davno je bila gimnazija. Pozdrav svim forumasima i unapred zahvalnost onome ko mi pomogne.
veljo iz nis
Poslednji put menjao Daniel dana Petak, 20. Oktobar 2017, 14:20, izmenjena samo jedanput
Razlog: Dodavanje Latex-tagova – tačka 13. Pravilnika
veljor  OFFLINE
 
Postovi: 3
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 1 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Polulopta od trapeza u tifani tehnici

Postod Daniel » Nedelja, 22. Oktobar 2017, 01:07

Moraću da te ipak zamolim za neka dodatna razjašnjenja, jer su pojedini delovi dosta konfuzno napisani. Zasad mi je jedino jasan taj prvi red, najbliži osnovi polulopte – iz broja trapeza u tom prvom redu i iz dužine njihovih osnovica lako se može odrediti obim osnove polulopte, a odatle i poluprečnik osnove polulopte.

Ali, iz podataka koje si naveo ne možemo znati kakav je položaj i oblik trapeza u ostalim, višim redovima.

veljor je napisao:stranice svih trapeza su kruzni odseseci sa uglom izmedju poluprecnika od [inlmath]11.5[/inlmath] stepeni,

Ako sve [inlmath]32[/inlmath] osnovice trapeza raspoređene po obimu osnove polulopte odgovaraju uglu od [inlmath]360^\circ[/inlmath], onda će jedna takva osnovica odgovarati uglu od [inlmath]\frac{360^\circ}{32}[/inlmath], tj. [inlmath]11,25^\circ[/inlmath]. E sad, tvoja rečenica je neprecizna – da li taj ugao odgovara osnovicama, ili odgovara kracima trapeza, ili možda visinama trapeza...?

veljor je napisao:ili tangente tog kruga sa uglom od takodje [inlmath]11,5[/inlmath] stepeni.

Ovaj deo uopšte nisam razumeo. Kakve tangente?

Takođe, da li su ti trapezi, da tako kažem, pravi (ravni) trapezi, tako da svi zajedno formiraju jedan poliedar koji se može aproksimirati poluloptom, ili su to „trapezi“ koji su zaobljeni (zakrivljeni) tako da svaki od njih predstavlja delić prave polulopte?

Da li su manje osnovice trapeza u nekom redu istovremeno i veće osnovice trapeza postavljenih u redu iznad? Tj. da li krak svakog trapeza leži u liniji s krakom onog trapeza koji je iznad njega? Sudeći po ovim slikama, rekao bih da da.

Neka slika/skica konkretnog slučaja bi bila poželjna.

I, na kraju – nisi naveo šta je zapravo tvoje pitanje?
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Polulopta od trapeza u tifani tehnici

Postod veljor » Sreda, 25. Oktobar 2017, 23:11

Poštovani
To je poliedar sastavljen od trapeza kojima svima visina [inlmath]4\text{ cm}[/inlmath] i kojima je manja osnovica uvek veća osnovica narednog, tj onog gornjeg. Pitanje glasi: kako izračunat dimenzije tih trapeza koji zajedno čine poliedar u obliku polulopte. Trapezi nisu sastavljeni od lukova lopte, već od duži. Trapez nije sferican nego geometrijska slika jer je staklo koje se srce po tim trapezima ravno. Poslao bih sliku ali ne umem da je nacrtam. Nadam se da sam pojasnio. Poz i hvala. Ako ste u Nišu ili tu negde vodim na pivo!
veljor  OFFLINE
 
Postovi: 3
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 1 puta

  • +1

Re: Polulopta od trapeza u tifani tehnici

Postod Daniel » Ponedeljak, 30. Oktobar 2017, 02:54

OK, ako sam dobro razumeo, to bi onda izgledalo ovako nekako:


Osnova ove „polulopte“ (OK, striktno gledano nije polulopta, zato i stavljam pod navodnike) predstavlja pravilan 32-ougao (čije su, dakle, stranice zapravo veće osnovice trapeza u prvom redu). Stranica tog pravilnog 32-ougla je [inlmath]4\text{ cm}[/inlmath].

Takođe, veće osnovice trapeza u [inlmath]2.[/inlmath] redu formiraće neki pravilan 32-ougao, paralelan s osnovom, tj. takođe smeštenim u horizontalnoj ravni. Budući da su i ovaj 32-ougao i onaj 32-ougao u osnovi pravilni, oni će samim tim biti i međusobno slični. Ista priča važi i za pravilan 32-ougao kojeg formiraju veće osnovice trapeza u [inlmath]3.[/inlmath] redu. To se, dakle, može primeniti na bilo koji red. Prema tome, svi pravilni 32-ouglovi formirani od većih osnovica trapeza u nekom od redova biće međusobno paralelni i međusobno slični. Potrebno je naći vezu svakog od tih 32-ouglova, s onim pravilnim 32-ouglom koji se nalazi u osnovi „polulopte“, a zatim na osnovu te veze naći i njihove stranice, čime smo zapravo našli osnovice svih trapeza. Znajući osnovice trapeza, kao i visinu tih trapeza (koja je zajednička za sve trapeze od kojih je sačinjena „polulopta“), lako se mogu izračunati i kraci svih trapeza.

Radi nalaženja ove veze, posmatrajmo 32-ougao sastavljen od osnovica trapeza u [inlmath]n[/inlmath]-tom redu ([inlmath]1\le n\le8[/inlmath]). Stranicu tog 32-ougla obeležimo sa [inlmath]a_n[/inlmath], a rastojanje od centra tog 32-ougla do bilo koje njegove stranice (tj. do sredine bilo koje njegove stranice) obeležimo sa [inlmath]r_n[/inlmath]. Četvrtina tog 32-ougla izgledala bi kao na slici:

32-ougao (horizontalna ravan).png
32-ougao (horizontalna ravan).png (1.02 KiB) Pogledano 394 puta

Pri tome važi da je [inlmath]a_1=4\text{ cm}[/inlmath] (veća osnovica trapeza u prvom redu, koja je data).
Pošto smo već konstatovali da su svi ovi horizontalni 32-ouglovi međusobno slični, možemo zaključiti i da važi [inlmath]a_n:r_n=a_1:r_1[/inlmath], tj.
[dispmath]a_n=a_1\cdot\frac{r_n}{r_1}[/dispmath]
Posmatrajmo zatim trapeze poređane jedan iznad drugog, počev od osnove pa do vrha polulopte. Njihove visine takođe iznose [inlmath]4\text{ cm}[/inlmath], što znači da će te visine formirati četvrtinu 32-ougla, smeštenog u vertikalnoj ravni, a podudarnog onom 32-ouglu u osnovi (visine trapeza možemo postaviti od sredine veće osnovice do sredine manje osnovice trapeza). To znači, imaćemo [inlmath]8[/inlmath] redova (iliti „spratova“) tih trapeza:

32-ougao (vertikalna ravan).png
32-ougao (vertikalna ravan).png (984 Bajta) Pogledano 394 puta

[inlmath]r_1[/inlmath], koje je na prethodnoj slici predstavljalo rastojanje od centra 32-ougla u osnovi pa do sredine njegove stranice, na ovoj slici predstavlja rastojanje od ose „polulopte“ pa do sredine osnovice trapeza u prvom redu;
[inlmath]r_2[/inlmath], koje je na prethodnoj slici predstavljalo rastojanje od centra 32-ougla sastavljenog od osnovica trapeza u [inlmath]2.[/inlmath] redu, pa do sredine njegove stranice, na ovoj slici predstavlja rastojanje od ose „polulopte“ pa do sredine osnovice trapeza u drugom redu;
itd...

Sa slike se može uočiti veza između [inlmath]r_n[/inlmath] (gde je [inlmath]2\le n\le8[/inlmath]) i [inlmath]r_1[/inlmath]:
[dispmath]r_2=r_1\cos\theta\\
r_3=r_1\cos2\theta\\
\vdots\\
r_n=r_1\cos(n-1)\theta[/dispmath] gde je [inlmath]8\theta=90^\circ[/inlmath], tj. [inlmath]\theta=11,25^\circ[/inlmath].

Koristeći odnos [inlmath]a_n=a_1\cdot\frac{r_n}{r_1}[/inlmath], možemo sada izvesti vezu između [inlmath]a_n[/inlmath] i [inlmath]a_1[/inlmath]:
[dispmath]a_n=a_1\cos(n-1)\theta[/dispmath] Znači, veća osnovica trapeza u [inlmath]n[/inlmath]-tom redu biće [inlmath]a_n=a_1\cos(n-1)\theta[/inlmath], njegova manja osnovica biće [inlmath]b_n=a_{n+1}=a_1\cos n\theta[/inlmath], pa odatle možemo, Pitagorinom teoremom, odrediti i krak [inlmath]c_n[/inlmath]:
[dispmath]c_n^2=\left(\frac{a_n-b_n}{2}\right)^2+h^2\\
c_n^2=\left[\frac{a_1\cos(n-1)\theta-a_1\cos n\theta}{2}\right]^2+h^2\\
c_n^2=\frac{a_1^2}{4}[\cos(n-1)\theta-\cos n\theta]^2+h^2\\
c_n^2=\frac{a_1^2}{4}\left[-2\sin\left(n-\frac{1}{2}\right)\theta\sin\left(-\frac{\theta}{2}\right)\right]^2+h^2\\
c_n^2=\frac{a_1^2}{\cancel4}\cdot\cancel4\sin^2\left(n-\frac{1}{2}\right)\theta\sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right)+h^2[/dispmath] Pošto je [inlmath]a_1=h[/inlmath],
[dispmath]c_n^2=a_1^2\sin^2\left(n-\frac{1}{2}\right)\theta\sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right)+a_1^2\\
c_n=a_1\sqrt{1+\sin^2\left(n-\frac{1}{2}\right)\theta\sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right)}[/dispmath] I, nakon uvrštavanja brojnih vrednosti [inlmath]a_1=4[/inlmath] i [inlmath]\theta=11,25^\circ[/inlmath],
[dispmath]\enclose{box}{\begin{array}{l}
a_n=4\cos[(n-1)11,25^\circ]\\
b_n=4\cos(n\cdot11,25^\circ)\\
c_n=4\sqrt{1+\sin^2\Bigl[\left(n-\frac{1}{2}\right)11,25^\circ\Bigr]\sin^25,625^\circ}
\end{array}}[/dispmath] Prilično je kontraintuitivno da kraci trapeza ([inlmath]c_n[/inlmath]) nisu konstantni, već zavise od toga u kom se redu nalazi trapez (na prvi pogled nam se čini da svi kraci moraju biti iste dužine). Istina, njihova dužina gotovo beznačajno raste od prvog do osmog reda, tako da u prvom redu iznose [inlmath]\approx 4,0002\text{ cm}[/inlmath], dok u poslednjem (osmom) redu iznose [inlmath]\approx4,019\text{ cm}[/inlmath] (što znači da je u prvom redu krak trapeza praktično jednak visini trapeza odnosno većoj osnovici, što, opet, znači da su trapezi u prvom redu vrlo približni kvadratima).

Takođe, u [inlmath]8.[/inlmath] redu se za manju osnovicu ([inlmath]b_8[/inlmath]) dobije da je jednaka nuli. Logično, jer u [inlmath]8.[/inlmath] redu zapravo i nemamo trapeze, već trouglove (mada pretpostavljam da će, prilikom izrade, umesto tog reda trouglova doći „kapica“).
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

  • +1

Re: Polulopta od trapeza u tifani tehnici

Postod veljor » Sreda, 04. Jul 2018, 01:52

Dobio sam bas ono sto mi je potrebno. Hvala ti Daniele ko bratu. Resio si mi problem iako sam jedva znao sta hocu. Tek sada mi je jasno da je meni trebalo formula za izracunavanje dimenzija trapeza od kojih je sacinjena pravilna kupola upisana u lopti poznatog precnika, a cija je osnova pravilni n-to ugao. Dimenzija bocnih stranica trapeza, nije potrebna jer je pravilni trapez odredjen dvema osnovicama i visinom. A to znaci da se i staklo moze seci u obliku trapeza kojima je svima visina jednaka, a manja osnovica je uvek veca osnovica onog gornjeg. Jos jedanom - HVALA. Posalji mi Daniele, tvoju adresu, da bih ti poslao jedan skroman pokloncic u tifani tehnici za koji, da bi se uradio, nije potrebno toliko znanje geometrije. Poz.
veljor  OFFLINE
 
Postovi: 3
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 1 puta


Povratak na GEOMETRIJA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 61 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 21:56 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs