OK, ako sam dobro razumeo, to bi onda izgledalo ovako nekako:
Osnova ove „polulopte“ (OK, striktno gledano nije polulopta, zato i stavljam pod navodnike) predstavlja pravilan 32-ougao (čije su, dakle, stranice zapravo veće osnovice trapeza u prvom redu). Stranica tog pravilnog 32-ougla je [inlmath]4\text{ cm}[/inlmath].
Takođe, veće osnovice trapeza u [inlmath]2.[/inlmath] redu formiraće neki pravilan 32-ougao, paralelan s osnovom, tj. takođe smeštenim u horizontalnoj ravni. Budući da su i ovaj 32-ougao i onaj 32-ougao u osnovi pravilni, oni će samim tim biti i međusobno slični. Ista priča važi i za pravilan 32-ougao kojeg formiraju veće osnovice trapeza u [inlmath]3.[/inlmath] redu. To se, dakle, može primeniti na bilo koji red. Prema tome, svi pravilni 32-ouglovi formirani od većih osnovica trapeza u nekom od redova biće međusobno paralelni i međusobno slični. Potrebno je naći vezu svakog od tih 32-ouglova, s onim pravilnim 32-ouglom koji se nalazi u osnovi „polulopte“, a zatim na osnovu te veze naći i njihove stranice, čime smo zapravo našli osnovice svih trapeza. Znajući osnovice trapeza, kao i visinu tih trapeza (koja je zajednička za sve trapeze od kojih je sačinjena „polulopta“), lako se mogu izračunati i kraci svih trapeza.
Radi nalaženja ove veze, posmatrajmo 32-ougao sastavljen od osnovica trapeza u [inlmath]n[/inlmath]-tom redu ([inlmath]1\le n\le8[/inlmath]). Stranicu tog 32-ougla obeležimo sa [inlmath]a_n[/inlmath], a rastojanje od centra tog 32-ougla do bilo koje njegove stranice (tj. do sredine bilo koje njegove stranice) obeležimo sa [inlmath]r_n[/inlmath]. Četvrtina tog 32-ougla izgledala bi kao na slici:
- 32-ougao (horizontalna ravan).png (1.02 KiB) Pogledano 393 puta
Pri tome važi da je [inlmath]a_1=4\text{ cm}[/inlmath] (veća osnovica trapeza u prvom redu, koja je data).
Pošto smo već konstatovali da su svi ovi horizontalni 32-ouglovi međusobno slični, možemo zaključiti i da važi [inlmath]a_n:r_n=a_1:r_1[/inlmath], tj.
[dispmath]a_n=a_1\cdot\frac{r_n}{r_1}[/dispmath]
Posmatrajmo zatim trapeze poređane jedan iznad drugog, počev od osnove pa do vrha polulopte. Njihove visine takođe iznose [inlmath]4\text{ cm}[/inlmath], što znači da će te visine formirati četvrtinu 32-ougla, smeštenog u vertikalnoj ravni, a podudarnog onom 32-ouglu u osnovi (visine trapeza možemo postaviti od sredine veće osnovice do sredine manje osnovice trapeza). To znači, imaćemo [inlmath]8[/inlmath] redova (iliti „spratova“) tih trapeza:
- 32-ougao (vertikalna ravan).png (984 Bajta) Pogledano 393 puta
[inlmath]r_1[/inlmath], koje je na prethodnoj slici predstavljalo rastojanje od centra 32-ougla u osnovi pa do sredine njegove stranice, na ovoj slici predstavlja rastojanje od ose „polulopte“ pa do sredine osnovice trapeza u prvom redu;
[inlmath]r_2[/inlmath], koje je na prethodnoj slici predstavljalo rastojanje od centra 32-ougla sastavljenog od osnovica trapeza u [inlmath]2.[/inlmath] redu, pa do sredine njegove stranice, na ovoj slici predstavlja rastojanje od ose „polulopte“ pa do sredine osnovice trapeza u drugom redu;
itd...
Sa slike se može uočiti veza između [inlmath]r_n[/inlmath] (gde je [inlmath]2\le n\le8[/inlmath]) i [inlmath]r_1[/inlmath]:
[dispmath]r_2=r_1\cos\theta\\
r_3=r_1\cos2\theta\\
\vdots\\
r_n=r_1\cos(n-1)\theta[/dispmath] gde je [inlmath]8\theta=90^\circ[/inlmath], tj. [inlmath]\theta=11,25^\circ[/inlmath].
Koristeći odnos [inlmath]a_n=a_1\cdot\frac{r_n}{r_1}[/inlmath], možemo sada izvesti vezu između [inlmath]a_n[/inlmath] i [inlmath]a_1[/inlmath]:
[dispmath]a_n=a_1\cos(n-1)\theta[/dispmath] Znači, veća osnovica trapeza u [inlmath]n[/inlmath]-tom redu biće [inlmath]a_n=a_1\cos(n-1)\theta[/inlmath], njegova manja osnovica biće [inlmath]b_n=a_{n+1}=a_1\cos n\theta[/inlmath], pa odatle možemo, Pitagorinom teoremom, odrediti i krak [inlmath]c_n[/inlmath]:
[dispmath]c_n^2=\left(\frac{a_n-b_n}{2}\right)^2+h^2\\
c_n^2=\left[\frac{a_1\cos(n-1)\theta-a_1\cos n\theta}{2}\right]^2+h^2\\
c_n^2=\frac{a_1^2}{4}[\cos(n-1)\theta-\cos n\theta]^2+h^2\\
c_n^2=\frac{a_1^2}{4}\left[-2\sin\left(n-\frac{1}{2}\right)\theta\sin\left(-\frac{\theta}{2}\right)\right]^2+h^2\\
c_n^2=\frac{a_1^2}{\cancel4}\cdot\cancel4\sin^2\left(n-\frac{1}{2}\right)\theta\sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right)+h^2[/dispmath] Pošto je [inlmath]a_1=h[/inlmath],
[dispmath]c_n^2=a_1^2\sin^2\left(n-\frac{1}{2}\right)\theta\sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right)+a_1^2\\
c_n=a_1\sqrt{1+\sin^2\left(n-\frac{1}{2}\right)\theta\sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right)}[/dispmath] I, nakon uvrštavanja brojnih vrednosti [inlmath]a_1=4[/inlmath] i [inlmath]\theta=11,25^\circ[/inlmath],
[dispmath]\enclose{box}{\begin{array}{l}
a_n=4\cos[(n-1)11,25^\circ]\\
b_n=4\cos(n\cdot11,25^\circ)\\
c_n=4\sqrt{1+\sin^2\Bigl[\left(n-\frac{1}{2}\right)11,25^\circ\Bigr]\sin^25,625^\circ}
\end{array}}[/dispmath] Prilično je kontraintuitivno da kraci trapeza ([inlmath]c_n[/inlmath]) nisu konstantni, već zavise od toga u kom se redu nalazi trapez (na prvi pogled nam se čini da svi kraci moraju biti iste dužine). Istina, njihova dužina gotovo beznačajno raste od prvog do osmog reda, tako da u prvom redu iznose [inlmath]\approx 4,0002\text{ cm}[/inlmath], dok u poslednjem (osmom) redu iznose [inlmath]\approx4,019\text{ cm}[/inlmath] (što znači da je u prvom redu krak trapeza praktično jednak visini trapeza odnosno većoj osnovici, što, opet, znači da su trapezi u prvom redu vrlo približni kvadratima).
Takođe, u [inlmath]8.[/inlmath] redu se za manju osnovicu ([inlmath]b_8[/inlmath]) dobije da je jednaka nuli. Logično, jer u [inlmath]8.[/inlmath] redu zapravo i nemamo trapeze, već trouglove (mada pretpostavljam da će, prilikom izrade, umesto tog reda trouglova doći „kapica“).