bounty je napisao:U rješenjima se navodi formula
[dispmath]P=r\cdot\text{ctg }\frac{\alpha}{2}\cdot\text{ctg }\frac{\beta}{2}\cdot\text{ctg }\frac{\gamma}{2},[/dispmath]
Odmah se može videti da ova formula ne valja, jer se dimenziono ne poklapaju leva i desna strana. Leva strana ([inlmath]P[/inlmath]) ima dimenziju kvadrata dužine, dok desna strana ima dimenziju dužine. Potrebno je da na desnoj strani [inlmath]r[/inlmath] bude dignuto na kvadrat.
Mislim da bi sledeći način bio malo jednostavniji od bobanexovog:
- upisana kruznica.png (1.71 KiB) Pogledano 309 puta
Može se uočiti da je obim trougla jednak [inlmath]O=AR+BR+BP+CP+CQ+AQ[/inlmath], a kako je [inlmath]AR=AQ[/inlmath], [inlmath]BP=BR[/inlmath] i [inlmath]CQ=CP[/inlmath], to je poluobim jednak
[dispmath]s=\frac{O}{2}=AR+BP+CQ\tag1[/dispmath] Pri tome je
[dispmath]\text{ctg }\frac{\alpha}{2}=\frac{AR}{r}\quad\Longrightarrow\quad AR=r\text{ ctg }\frac{\alpha}{2}\tag2[/dispmath] Na sličan način se pokazuje i da je
[dispmath]BP=r\text{ ctg }\frac{\beta}{2}\tag3[/dispmath][dispmath]CQ=r\text{ ctg }\frac{\gamma}{2}\tag4[/dispmath] Uvrštavanjem [inlmath](2)[/inlmath], [inlmath](3)[/inlmath] i [inlmath](4)[/inlmath] u [inlmath](1)[/inlmath], a nakon toga uvrštavajući dobijeni izraz za [inlmath]s[/inlmath] u formulu za površinu [inlmath]P=rs[/inlmath], dobije se tražena formula za površinu.
bobanex je napisao:[dispmath]\text{ctg }\frac{\alpha}{2}=\frac{s-a}{r}\\
\text{ctg }\frac{\beta}{2}=\frac{s-b}{r}\\
\text{ctg }\frac{\gamma}{2}=\frac{s-c}{r}[/dispmath]
Budući da nije sasvim očigledno (bar ne meni) kako se do ovih formula došlo, napisao bih časkom i njihovo izvođenje.
Posmatrajući gornju sliku i gornju jednakost [inlmath](1)[/inlmath], sledi da je [inlmath]AR=s-(BP+CQ)[/inlmath]. A kako je [inlmath]CQ=CP[/inlmath], sledi [inlmath]AR=s-(BP+CP)[/inlmath]. A kako je [inlmath]BP+CP=BC=a[/inlmath], sledi [inlmath]AR=s-a[/inlmath].
Pošto je [inlmath]\text{ctg }\frac{\alpha}{2}=\frac{AR}{r}[/inlmath], sledi [inlmath]\text{ctg }\frac{\alpha}{2}=\frac{s-a}{r}[/inlmath].
Analogno se pokazuje i [inlmath]\text{ctg }\frac{\beta}{2}=\frac{s-b}{r}[/inlmath] i [inlmath]\text{ctg }\frac{\gamma}{2}=\frac{s-c}{r}[/inlmath].
bounty je napisao:p.s. ne znam kako se pišu minute u latexu, pa sam stavila stupnjeve - ali to su minute:)
Običan apostrof.
Ispravio sam.