Pozdrav, radio sam ovaj zadatak sa roka MATF 2007, u pitanju je 16. zadatak i glasi:
Najveća moguća zapremina prave kupe čija izvodnica ima dužinu [inlmath]s[/inlmath] je:
[inlmath]\displaystyle\enclose{circle}{A)}\;\frac{2\pi s^3\sqrt3}{27}\quad[/inlmath] [inlmath]\displaystyle B)\;\frac{4\pi s^3\sqrt3}{27}\quad[/inlmath] [inlmath]\displaystyle C)\;\frac{\pi s^3\sqrt3}{9}\quad[/inlmath] [inlmath]\displaystyle D)\;\frac{\pi s^3\sqrt3}{27}\quad[/inlmath] [inlmath]\displaystyle E)\;\frac{2\pi s^3\sqrt2}{27}[/inlmath]
Sada, ja sam razmišljao da je efikasnije pošto sam nacrtao kupu, i pošto je zapremina kupe [inlmath]\displaystyle\frac{BH}{3}[/inlmath], da poluprečnik kupe [inlmath]R[/inlmath] i visinu [inlmath]H[/inlmath] izrazim preko trigonometrijskih funkcija. Recimo da je ugao [inlmath]\alpha[/inlmath] ugao između visine i izvodnice kupe, iz čega bi proizvelo da je [inlmath]R=s\sin\alpha[/inlmath], a [inlmath]H=s\cos\alpha[/inlmath].
Zatim sam to zamenio u formuli za zapreminu, pronašao prvi izvod (zapremina je maksimalna), i dobio:
[inlmath]\displaystyle V=\frac{s^3\pi}{3}\left(\sin^2\alpha\cos\alpha\right)[/inlmath]. Iz ovoga sam dalje izrazio [inlmath]f'(\alpha)=\sin\alpha\left(3\cos^2\alpha-1\right)[/inlmath] iz čega nakon jednačenja prvog izvoda sa nulom dobijam da je [inlmath]\displaystyle\alpha=\arccos\frac{1}{\sqrt3}[/inlmath].
Sada ovde nemam nikakvu ideju kako da dovršim zadatak, tako da bi bilo fino ako bi neko mogao da me usmeri ili mi predloži neki drugi, možda čak lakši način za rešavanje ovoga. Usput se izvinjavam ako je malo nejasno kako sam došao do ovih vrednosti, previše vremena bi mi trebalo da ih ukucam sve u Latex-u, ako bude bilo potrebe ispisaću ih detaljnije.