Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI GEOMETRIJA

Najveća zapremina prave kupe – MATF prijemni 2007.

[inlmath]\triangle ABC\sim\triangle A'B'C'[/inlmath]
  • +1

Najveća zapremina prave kupe – MATF prijemni 2007.

Postod Tinker » Petak, 09. Februar 2018, 15:14

Pozdrav, radio sam ovaj zadatak sa roka MATF 2007, u pitanju je 16. zadatak i glasi:

Najveća moguća zapremina prave kupe čija izvodnica ima dužinu [inlmath]s[/inlmath] je:

[inlmath]\displaystyle\enclose{circle}{A)}\;\frac{2\pi s^3\sqrt3}{27}\quad[/inlmath] [inlmath]\displaystyle B)\;\frac{4\pi s^3\sqrt3}{27}\quad[/inlmath] [inlmath]\displaystyle C)\;\frac{\pi s^3\sqrt3}{9}\quad[/inlmath] [inlmath]\displaystyle D)\;\frac{\pi s^3\sqrt3}{27}\quad[/inlmath] [inlmath]\displaystyle E)\;\frac{2\pi s^3\sqrt2}{27}[/inlmath]

Sada, ja sam razmišljao da je efikasnije pošto sam nacrtao kupu, i pošto je zapremina kupe [inlmath]\displaystyle\frac{BH}{3}[/inlmath], da poluprečnik kupe [inlmath]R[/inlmath] i visinu [inlmath]H[/inlmath] izrazim preko trigonometrijskih funkcija. Recimo da je ugao [inlmath]\alpha[/inlmath] ugao između visine i izvodnice kupe, iz čega bi proizvelo da je [inlmath]R=s\sin\alpha[/inlmath], a [inlmath]H=s\cos\alpha[/inlmath].

Zatim sam to zamenio u formuli za zapreminu, pronašao prvi izvod (zapremina je maksimalna), i dobio:
[inlmath]\displaystyle V=\frac{s^3\pi}{3}\left(\sin^2\alpha\cos\alpha\right)[/inlmath]. Iz ovoga sam dalje izrazio [inlmath]f'(\alpha)=\sin\alpha\left(3\cos^2\alpha-1\right)[/inlmath] iz čega nakon jednačenja prvog izvoda sa nulom dobijam da je [inlmath]\displaystyle\alpha=\arccos\frac{1}{\sqrt3}[/inlmath].

Sada ovde nemam nikakvu ideju kako da dovršim zadatak, tako da bi bilo fino ako bi neko mogao da me usmeri ili mi predloži neki drugi, možda čak lakši način za rešavanje ovoga.:) Usput se izvinjavam ako je malo nejasno kako sam došao do ovih vrednosti, previše vremena bi mi trebalo da ih ukucam sve u Latex-u, ako bude bilo potrebe ispisaću ih detaljnije. :)
Education is what remains after one has forgotten what one has learned in school - Albert Einstein
Tinker  OFFLINE
 
Postovi: 79
Zahvalio se: 54 puta
Pohvaljen: 35 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +2

Re: Najveća zapremina prave kupe – MATF prijemni 2007.

Postod Corba248 » Petak, 09. Februar 2018, 16:18

Analiziranjem prvog izvoda si dobro našao da je maksimum za [inlmath]\displaystyle\cos^2\alpha=\frac{1}{3}[/inlmath], odakle je [inlmath]\displaystyle\sin^2\alpha=\frac{2}{3}[/inlmath] i [inlmath]\displaystyle\cos\alpha=\pm\frac{\sqrt3}{3}[/inlmath], ovde biramo pozitivno rešenje. Onda dobijaš [inlmath]\displaystyle V=\frac{s^3\pi}{3}\sin^2\alpha\cos\alpha=\frac{2s^3\pi\sqrt3}{27}[/inlmath]. Dakle, nema potrebe računati vrednost samog ugla.
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 314
Zahvalio se: 37 puta
Pohvaljen: 352 puta

Re: Najveća zapremina prave kupe – MATF prijemni 2007.

Postod Tinker » Petak, 09. Februar 2018, 16:45

Iskreno ne znam kako nisam i sam uvideo da jednostavno mogu da zamenim vrednosti za [inlmath]\cos\alpha[/inlmath] i [inlmath]\sin\alpha[/inlmath]. :facepalm: :facepalm: :facepalm:
Hvala na pomoći. :thumbup: :D

EDIT: Izvini, ali imam još jedno pitanje; da li bih ovaj zadatak nekako mogao da rešim zamenom [inlmath]R^2=s^2-H^2[/inlmath] u formulu za zapreminu kupe? Ili je to nemoguće?
Education is what remains after one has forgotten what one has learned in school - Albert Einstein
Tinker  OFFLINE
 
Postovi: 79
Zahvalio se: 54 puta
Pohvaljen: 35 puta

  • +2

Re: Najveća zapremina prave kupe – MATF prijemni 2007.

Postod Corba248 » Petak, 09. Februar 2018, 17:50

Tinker je napisao:Izvini, ali imam još jedno pitanje; da li bih ovaj zadatak nekako mogao da rešim zamenom [inlmath]R^2=s^2-H^2[/inlmath] u formulu za zapreminu kupe? Ili je to nemoguće?

Može. Samo u formulu za zapreminu umesto [inlmath]R^2[/inlmath] zamenimo [inlmath]s^2-H^2[/inlmath]. Dakle imamo:
[dispmath]V=\frac{1}{3}R^2\pi H=\frac{1}{3}\pi\left(s^2-H^2\right)H[/dispmath] Diferenciranjem po [inlmath]H[/inlmath] i izjednačavanjem sa nulom dobijaš uslov [inlmath]\displaystyle H^2=\frac{s^2}{3}[/inlmath] što, opet, dovodi do istog rezultata.
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 314
Zahvalio se: 37 puta
Pohvaljen: 352 puta


Povratak na GEOMETRIJA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 58 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 20:22 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs