Stranica 1 od 1

Površina pravilnog n-tougla

PostPoslato: Subota, 07. April 2018, 12:45
od geostorm
Da li se površina pravilnog [inlmath]n[/inlmath]-tougla može izračunati preko obrasca
[dispmath]P_n=a^2\frac{n}{4}\text{ctg}\frac{\pi}{n}[/dispmath] ako je:
[inlmath]n[/inlmath] - broj stranica
[inlmath]a[/inlmath] - duzina jedne stranice

Re: Površina pravilnog n-tougla

PostPoslato: Subota, 07. April 2018, 12:59
od Daniel
Da.

Re: Površina pravilnog n-tougla

PostPoslato: Nedelja, 08. April 2018, 08:44
od Daniel
Pošto sam sad ugrabio malo više vremena, da dam i malo detaljniji odgovor kako se došlo do te formule (a i teško da bi postojao neki odgovor koji ne bi bio detaljniji od prethodnog).
Površinu datog [inlmath]n[/inlmath]-tougla možemo posmatrati kao zbir jednakokrakih trouglova čije su osnovice stranice tog [inlmath]n[/inlmath]-tougla, a koji imaju zajednički vrh u centru tog [inlmath]n[/inlmath]-tougla:

n-tougao.png
n-tougao.png (829 Bajta) Pogledano 267 puta

Pošto takvih jednakokrakih trouglova ukupno ima [inlmath]n[/inlmath], površina [inlmath]n[/inlmath]-tougla biće jednaka
[dispmath]P=nP_\triangle[/dispmath] gde je [inlmath]P_\triangle[/inlmath] površina svakog od tih jednakokrakih trouglova.
Površina svakog od tih jednakokrakih trouglova biće jednaka
[dispmath]P_\triangle=\frac{ah_a}{2}[/dispmath] gde je [inlmath]h_a[/inlmath] visina na osnovicu [inlmath]a[/inlmath]. Ako je [inlmath]\theta[/inlmath] ugao pri vrhu jednakokrakog trougla, ta visina se može izraziti na sledeći način:
[dispmath]\text{ctg}\frac{\theta}{2}=\frac{h_a}{\frac{a}{2}}\quad\Longrightarrow\quad h_a=\frac{a}{2}\text{ctg}\frac{\theta}{2}[/dispmath] pa je površina jednakokrakog trougla
[dispmath]P_\triangle=\frac{ah_a}{2}=\frac{a^2}{4}\text{ctg}\frac{\theta}{2}[/dispmath] Sa slike se vidi da [inlmath]n[/inlmath] uglova [inlmath]\theta[/inlmath] čine pun ugao, tj.
[dispmath]n\theta=2\pi\quad\Longrightarrow\quad\theta=\frac{2\pi}{n}[/dispmath] pa izraz za površinu jednakokrakog trougla postaje
[dispmath]P_\triangle=\frac{a^2}{4}\text{ctg}\frac{\pi}{n}[/dispmath] i, na kraju, za površinu celog [inlmath]n[/inlmath]-tougla se dobija:
[dispmath]P=nP_\triangle=a^2\frac{n}{4}\text{ctg}\frac{\pi}{n}[/dispmath]