Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI GEOMETRIJA

Zbir kvadrata dijagonala trapeza – probni prijemni MATF 2018.

[inlmath]\triangle ABC\sim\triangle A'B'C'[/inlmath]

Zbir kvadrata dijagonala trapeza – probni prijemni MATF 2018.

Postod Tinker » Nedelja, 17. Jun 2018, 21:32

Probni prijemni ispit MATF - 16. jun 2018.
12. zadatak


Dat je trapez [inlmath]ABCD[/inlmath] čije su osnovice [inlmath]AB[/inlmath] i [inlmath]CD[/inlmath] i za koji važi da su prave [inlmath]AD[/inlmath] i [inlmath]BC[/inlmath] uzajamno normalne. Ako je [inlmath]AB=12[/inlmath] i [inlmath]CD=5[/inlmath], onda je zbir kvadrata dijagonala trapeza [inlmath]ABCD[/inlmath] jednak?
Tačan odgovor je [inlmath]169[/inlmath].

I sa ovim zadatkom isto kao i sa onim što sam malo ranije postovao nemam predstavu šta da radim, sedim i gledam u skicu i stvarno nikakvu ideju ne dobijam...
Education is what remains after one has forgotten what one has learned in school - Albert Einstein
Tinker  OFFLINE
 
Postovi: 79
Zahvalio se: 54 puta
Pohvaljen: 35 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +2

Re: Zbir kvadrata dijagonala trapeza – probni prijemni MATF 2018.

Postod diopo » Nedelja, 17. Jun 2018, 22:51

Evo slika za pocetak.

trapez.png
trapez.png (5.59 KiB) Pogledano 1277 puta

Dakle, [inlmath]AD[/inlmath] i [inlmath]BC[/inlmath] su normalne. Povuces iz temena [inlmath]C[/inlmath] jednu pravu koja je paralelna sa [inlmath]AD[/inlmath], videces da je to kao da si slajdovao stranicu [inlmath]AD[/inlmath] ( zvacemo je [inlmath]c[/inlmath] ). Ta prava koju si povukao, posto je paralelna sa [inlmath]AD[/inlmath], logicno da je normalna na [inlmath]CB[/inlmath]. Dobijas pravougli trougao cija je hipotenuza [inlmath]7[/inlmath] jer si bukvalno preneo kracu osnovicu dole, te treba da oduzmes. Odatle pravis pitagorinu teoremu [inlmath]c^2+d^2=49[/inlmath]. Sada se fokusiras na trougao [inlmath]ABO[/inlmath] gde takodje mozes da primenis pitagorinu teoremu: [inlmath](OA)^2+(OB)^2=144[/inlmath].

Sada radis slicnost velikog i malog trougla (cije se teme nalazi u preseku prave koja polazi iz [inlmath]C[/inlmath] i duzi [inlmath]AB[/inlmath] i koje ja nisam obelezio :facepalm: ). Videces da su uglovi isti, te vazi:
[dispmath]\frac{c}{OA}=\frac{7}{12}=\frac{d}{OB}[/dispmath] Ovo ce nam trebati za kasnije. Sad ponovo koristimo pitagorinu teoremu na trouglovima [inlmath]ACO[/inlmath] i [inlmath]DBO[/inlmath] koji za hipotenuze imaju nase dve dijagonale [inlmath]d_1[/inlmath] i [inlmath]d_2[/inlmath] (pretpostavljam da vidis kuda ovo vodi :D). Dakle, sad imamo [inlmath](d_1)^2=(OA)^2+(OB-d)^2[/inlmath] i [inlmath](d_2)^2=(OB)^2+(OA-c)^2[/inlmath].

Saberemo ova dva i imamo [inlmath](d_1)^2+(d_2)^2=(OA)^2 +(OB)^2-2\cdot d\cdot OB+d^2+(OB)^2+(OA)^2-2\cdot c\cdot OA+c^2[/inlmath]
Kada sparimo ovde poznate zbirove, koje smo malopre izracunali preko pitagorine teoreme dobicemo: [inlmath](d_1)^2+(d_2)^2=337-2(d\cdot OB+c\cdot OA)[/inlmath], ove proizvode naci cemo preko one slicnosti koju smo malocas nasli i sve lepo ispada [inlmath](d_1)^2+(d_2)^2=169[/inlmath]
diopo  OFFLINE
 
Postovi: 58
Zahvalio se: 35 puta
Pohvaljen: 18 puta

Re: Zbir kvadrata dijagonala trapeza – probni prijemni MATF 2018.

Postod DzoniMaler » Ponedeljak, 18. Jun 2018, 00:02

Koristicemo diopo-vu sliku. Mislim da sam uradio maaalkice jednostavnije.

Kao prvo sam nazvao stranice [inlmath]AO=a\;[/inlmath] [inlmath]BO=b\;[/inlmath] [inlmath]DO=a_1\;[/inlmath] [inlmath]CO=b_1\;[/inlmath].
Sada kada bi primenili Pitagorinu teoremu na trouglove sa dijagonalama:
[inlmath]d_1^2=a^2+b_1^2\tag1[/inlmath]

[inlmath]d_2^2=a_1^2+b^2\tag2[/inlmath]

[inlmath](1)+(2)\quad\Longrightarrow\quad d_1^2+d_2^2=a^2+b_1^2+a_1^2+b^2[/inlmath]

Kada uocis da je [inlmath]a^2+b^2=12^2[/inlmath] i [inlmath]a_1^2+b_1^2=7^2[/inlmath] zadatak je gotov.

Ispada dosta prosto na kraju.
 
Postovi: 23
Zahvalio se: 16 puta
Pohvaljen: 20 puta

Re: Zbir kvadrata dijagonala trapeza – probni prijemni MATF 2018.

Postod zagormaster » Ponedeljak, 18. Jun 2018, 00:07

DzoniMaler je napisao:Kada uocis da je [inlmath]a^2+b^2=12^2[/inlmath] i [inlmath]a_1^2+b_1^2=7^2[/inlmath] zadatak je gotov.

Svaka cast Dzoni, samo mala ispravka [inlmath]a_1^2+b_1^2=5^2[/inlmath]
Poslednji put menjao Corba248 dana Ponedeljak, 18. Jun 2018, 00:19, izmenjena samo jedanput
Razlog: Uklanjanje suvišnog dela citata
 
Postovi: 19
Zahvalio se: 13 puta
Pohvaljen: 2 puta

  • +1

Re: Zbir kvadrata dijagonala trapeza – probni prijemni MATF 2018.

Postod diopo » Ponedeljak, 18. Jun 2018, 00:20

Da, to je puno prostije. Povukli su me ovi isti uglovi da radim slicnost i onda sam, zaslepljen time, izgubio puno laksu ideju iz vida. :facepalm:
diopo  OFFLINE
 
Postovi: 58
Zahvalio se: 35 puta
Pohvaljen: 18 puta

Re: Zbir kvadrata dijagonala trapeza – probni prijemni MATF 2018.

Postod DzoniMaler » Ponedeljak, 18. Jun 2018, 10:26

zagormaster je napisao:
DzoniMaler je napisao:Kada uocis da je [inlmath]a^2+b^2=12^2[/inlmath] i [inlmath]a_1^2+b_1^2=7^2[/inlmath] zadatak je gotov.

Svaka cast Dzoni, samo mala ispravka [inlmath]a_1^2+b_1^2=5^2[/inlmath]

Eh eto sta bude kad ja kuckam po forumu u 1 ujutro...
 
Postovi: 23
Zahvalio se: 16 puta
Pohvaljen: 20 puta

Re: Zbir kvadrata dijagonala trapeza – probni prijemni MATF 2018.

Postod Tinker » Ponedeljak, 18. Jun 2018, 10:40

Fenomenalni ste obojica, hvala! :D
Ali moram da priznam da me je više zaintrigirao ovaj diopov način, veoma zanimljivo i sa sigurnošću mogu da kažem da mi ovo ne bi palo na pamet nikad. :D
Education is what remains after one has forgotten what one has learned in school - Albert Einstein
Tinker  OFFLINE
 
Postovi: 79
Zahvalio se: 54 puta
Pohvaljen: 35 puta


Povratak na GEOMETRIJA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 57 gostiju

cron

Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 23:31 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs