16. zadatak
U pravu kupu zapremine [inlmath]12\pi\text{ cm}^3[/inlmath] upisana je polulopta tako da polulopta dodiruje omotač kupe po nekoj kružnici i osnova polulopte pripada osnovi kupe. Ako je visina kupe dužine [inlmath]4\text{ cm}[/inlmath], onda je zapremina polulopte jednaka:
Rešenje: [inlmath]\displaystyle\enclose{box}{\frac{1152\pi}{125}}[/inlmath]
Označimo sa [inlmath]R[/inlmath] poluprečnik osnove kupe, a sa [inlmath]H[/inlmath] visinu kupe. Zapremina kupe je jednaka
[dispmath]V=\frac{1}{3}B\cdot H=\frac{1}{3}\pi R^2H[/dispmath]
Iz izraza za zapreminu kupe lako se da izraziti poluprečnik njene osnove:
[dispmath]R=\sqrt{\frac{3\cdot V}{\pi H}}=3[/dispmath] Sa slike vidimo da je (iz sličnosti trouglova)
[dispmath]r:R=\sqrt{H^2-r^2}:H[/dispmath][dispmath]H^2r^2=R^2H^2-R^2r^2[/dispmath][dispmath]\vdots[/dispmath][dispmath]r^2=\frac{H^2R^2}{H^2+R^2}=\frac{144}{25}[/dispmath][dispmath]r=\frac{12}{5}[/dispmath] Konačno, zapremina polulopte data je kao:
[dispmath]V_0=\frac{2}{3}\cdot\pi r^3=\frac{1152\pi}{125}[/dispmath]