Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI GEOMETRIJA

Oko piramide je opisana lopta – probni prijemni MATF 2018.

[inlmath]\triangle ABC\sim\triangle A'B'C'[/inlmath]

Moderator: Corba248

  • +1

Oko piramide je opisana lopta – probni prijemni MATF 2018.

Postod Jovan111 » Četvrtak, 21. Februar 2019, 22:17

Probni prijemni ispit MATF - 16. jun 2018.
13. zadatak


Osnova piramide je pravougaonik kome je odnos dužina stranica [inlmath]2:1[/inlmath], a dužina svake od bočnih ivica jednaka je dužini dijagonale osnove piramide. Odnos zapremina te piramide i lopte opisane oko nje jeste:

Rešenje: [inlmath]\displaystyle\enclose{box}{9 : 20\pi}[/inlmath]

lopta opisana oko piramide.png
lopta opisana oko piramide.png (16.66 KiB) Pogledano 44 puta

Da bi se oko piramide mogla opisati lopta potrebno je i dovoljno da se oko njene osnove može opisati krug (oko piramide opisujemo kupu, a oko kupe loptu). Sa slike se vidi da svako teme piramide tako upisane u loptu pripada sferi te lopte, a centar lopte pripada visini te piramide. Na osnovu navedenog važi (vidi sliku):
[dispmath]R^2=(H-R)^2+r_o^2\tag1[/dispmath] gde su [inlmath]R[/inlmath] - poluprečnik opisane lopte, [inlmath]H[/inlmath] - visina piramide i [inlmath]r_o[/inlmath] - poluprečnik kružnice opisane oko pravougaonika u osnovi. Ako je odnos stranica pravougaonika u osnovi [inlmath]2:1[/inlmath], tada za te stranice važi [inlmath]a=2k[/inlmath] i [inlmath]b=k[/inlmath], gde je [inlmath]k[/inlmath] neki koeficijent proporcionalnosti.
[dispmath]r_o=\frac{\sqrt{(2k)^2+k^2}}{2}=\frac{k\sqrt5}{2}[/dispmath] Bočne ivice su dužine [inlmath]s[/inlmath] jednake dužini dijagonale osnove [inlmath]d=\sqrt{(2k)^2+k^2}=k\sqrt5[/inlmath] po uslovu zadatka, te imamo:
[dispmath]H=\sqrt{s^2-r_o^2}=\sqrt{\frac{4k^2\cdot5-k^2\cdot5}{4}}=\frac{k}{2}\sqrt{15}[/dispmath] Pošto smo izrazili sve potrebne veličine preko [inlmath]k[/inlmath], ostaje odrediti poluprečnik lopte [inlmath]R[/inlmath] preko [inlmath]k[/inlmath], pomoću [inlmath](1)[/inlmath].
[dispmath]R^2=\left(\frac{k}{2}\sqrt{15}-R\right)^2+\left(\frac{k\sqrt5}{2}\right)^2[/dispmath][dispmath]\vdots[/dispmath][dispmath]R=\frac{k\sqrt{15}}{3}[/dispmath] Pošto smo odredili sve figurišuće veličine, možemo naći traženi odnos zapremine piramide [inlmath]V_P[/inlmath] i zapremine lopte [inlmath]V_L[/inlmath].
[dispmath]V_P:V_L=\frac{V_P}{V_L}=\frac{\frac{1}{3}\cdot2k^2\cdot\frac{k\sqrt{15}}{2}}{\frac{4}{3}\cdot\pi\cdot\frac{k^3\cdot15\sqrt{15}}{3^3}}=\frac{1}{\frac{4\cdot15\pi}{3^3}}=\frac{9}{20\pi}=9:20\pi[/dispmath]
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 136
Zahvalio se: 45 puta
Pohvaljen: 157 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Oko piramide je opisana lopta – probni prijemni MATF 2018.

Postod Daniel » Petak, 22. Februar 2019, 18:12

Može se uočiti da je dijagonalni presek piramide jednakostranični trougao (jer je, prema uslovu zadatka, bočna ivica jednaka dijagonali osnove), što donekle pojednostavljuje postupak:
[dispmath]H=\frac{(2r_0)\sqrt3}{2}=r_0\sqrt3[/dispmath] Ako uočimo da je centar opisane lopte podjednako udaljen od bilo kog temena tog jednakostraničnog trougla, zaključujemo da se centar opisane lopte nalazi u težištu tog jednakostraničnog trougla, odakle je:
[dispmath]R=\frac{2}{3}H=\frac{2r_0\sqrt3}{3}[/dispmath] [inlmath]r_0[/inlmath] si već izrazio preko [inlmath]k[/inlmath], to je [inlmath]r_0=\frac{k\sqrt5}{2}[/inlmath], pa su [inlmath]H[/inlmath] i [inlmath]R[/inlmath] izraženi preko [inlmath]k[/inlmath]:
[dispmath]H=\frac{k\sqrt5}{2}\sqrt3=\frac{k\sqrt{15}}{2},\quad R=\frac{2\frac{k\sqrt5}{2}\sqrt3}{3}=\frac{k\sqrt{15}}{3}[/dispmath] kao što si i ti dobio.
Dalje je sve isto kao i u tvom postupku...
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7772
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4087 puta
Pohvaljen: 4140 puta


Povratak na GEOMETRIJA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 12 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Subota, 07. Decembar 2019, 10:08 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs