Ravan koja dijeli zapreminu piramide

PostPoslato: Ponedeljak, 06. Maj 2019, 23:17
od birb
Pozdrav!
Pokušavam da riješim sledeći zadatak:

Osnova piramide je paralelogram. U kojem odnosu ravan, koja sadrži jednu ivicu osnove i srednju liniju naspramne bočne strane, dijeli zapreminu piramide?
Rješenje zadatka je [inlmath]5:3[/inlmath].

Probala sam naći zapreminu gornjeg odsječenog tijela (manje piramide), tako da bi odnos bio, ako je [inlmath]V_1[/inlmath] zapremina donjeg tijela koje ima osnovu kao jednu svoju stranu, a [inlmath]V_2[/inlmath] zapremina piramide kojoj je osnova presjek:
[dispmath]\large\frac{V_1}{V_2}=\large\frac{V-V_2}{V_2}=\large\frac{\large\frac{1}{3}\cdot a\cdot h\cdot H-\large\frac{1}{3}\cdot\large\frac{a+\large\frac{a}{2}}{2}\cdot h_2\cdot H_2}{\large\frac{1}{3}\cdot\large\frac{a+\large\frac{a}{2}}{2}\cdot h_2\cdot H_2}=\large\frac{h\cdot H-\large\frac{3}{4}\cdot h_2\cdot H_2}{\large\frac{3}{4}\cdot h_2\cdot H_2}[/dispmath] [inlmath]a[/inlmath] je ivica osnove koju sadrži ravan presjeka, [inlmath]h[/inlmath] je visina te osnove, [inlmath]H[/inlmath] je visina date piramide, [inlmath]h_2[/inlmath] je visina presjeka (trapez) i [inlmath]H_2[/inlmath] je visina piramide sa presjekom u osnovi.

Hvala!

Re: Ravan koja dijeli zapreminu piramide

PostPoslato: Utorak, 07. Maj 2019, 14:55
od Daniel
Pozdrav! Ja ne bih direktno računao zapreminu gornjeg dela (nisam siguran da li bi to i bilo moguće), već bih računao zapreminu donjeg dela, nakon čega se zapremina gornjeg dela dobije kao razlika zapremine cele piramide i zapremine donjeg dela.

Zapreminu donjeg dela (slika levo) lako možemo izračunati ako uočimo da se isti sastoji od trostrane prizme (slika u sredini) i četvorostrane piramide (slika desno):

odnos zapremina.png
odnos zapremina.png (6.63 KiB) Pogledano 325 puta