Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI GEOMETRIJA

Odnos poluprečnika upisane i opisane kružnice trougla – drugi probni prijemni FON 2019.

[inlmath]\triangle ABC\sim\triangle A'B'C'[/inlmath]

Moderator: Corba248

Odnos poluprečnika upisane i opisane kružnice trougla – drugi probni prijemni FON 2019.

Postod Stefan Boricic » Subota, 06. Jul 2019, 15:53

Drugi probni prijemni ispit FON – 20. jun 2019.
11. zadatak


Dužine dve stranice trougla koje zaklapaju ugao od [inlmath]60^\circ[/inlmath] su [inlmath]\text{5 cm}[/inlmath] i [inlmath]\text{8 cm}[/inlmath]. Ako su [inlmath]r[/inlmath] i [inlmath]R[/inlmath], redom poluprečnici upisane i opisane kružnice oko tog trougla, onda [inlmath]\displaystyle\frac{r}{R}[/inlmath] iznosi:
[inlmath]\displaystyle A)\;\frac{5}{14};\quad[/inlmath] [inlmath]\displaystyle B)\;\frac{3}{14};\quad[/inlmath] [inlmath]\displaystyle\enclose{circle}{C)}\;\frac{3}{7}\quad[/inlmath] [inlmath]\displaystyle D)\;\frac{1}{7};\quad[/inlmath] [inlmath]\displaystyle E)\;\frac{4}{7};\qquad[/inlmath] [inlmath]N)\;\text{Ne znam.}[/inlmath]

Za početak ćemo izračunati površinu trougla:
[dispmath]P=\frac{a\cdot b\cdot\sin\gamma}{2}\\
P=\frac{5\cdot8\cdot\sin60^\circ}{2}\\
P=20\cdot\sin60^\circ\\
P\approx17,32\text{ cm}^2[/dispmath] Sada ćemo iskoristiti kosinusnu teoremu da bismo izračunali stranicu [inlmath]c[/inlmath].
[dispmath]c^2=a^2+b^2-2ab\cdot\cos\gamma\iff c=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cdot\cos\gamma}\\
c=\sqrt{8^2+5^2-2\cdot5\cdot8\cdot\cos60^\circ}\\
c=\sqrt{64+25-80\cdot\cos60^\circ}\\
c=\sqrt{89-40}\\
c=\sqrt{49}\\
c =7\text{ cm}[/dispmath] Sada možemo izračunati [inlmath]r[/inlmath] i [inlmath]R[/inlmath]:
[dispmath]r=\frac{P}{s}\\
s=\frac{a+b+c}{2}\\
s=\frac{5+8+7}{2}\\
s=10\text{ cm}\\
r=\frac{17,32}{10}\\
r=1,732\text{ cm}[/dispmath][dispmath]R=\frac{abc}{4P}\\
R=\frac{5\cdot8\cdot7}{4\cdot17,32}\\
R=\frac{10\cdot7}{17,32}\\
R=\frac{70}{17,32}\\
R=4,041\text{ cm}[/dispmath][dispmath]\frac{r}{R}=\frac{1,732}{4,041}\\
\enclose{box}{\frac{r}{R}=\frac{3}{7}}[/dispmath]
Mathematics is the language with which God wrote the universe. — Galileo
 
Postovi: 36
Zahvalio se: 12 puta
Pohvaljen: 8 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Odnos poluprečnika upisane i opisane kružnice trougla – drugi probni prijemni FON 2019.

Postod Daniel » Nedelja, 07. Jul 2019, 17:34

Stefan Boricic je napisao:[dispmath]P=20\cdot\sin60^\circ\\
P\approx17,32\text{ cm}^2[/dispmath]

Ovo se nikako ne preporučuje.
Kad dobijemo iracionalan broj (u kojem figuriše [inlmath]\pi[/inlmath], ili koren iz nečega, ili [inlmath]e[/inlmath] itd.) tada to ne treba računati tj. pretvarati u decimalni broj, prvo jer se time čini određena greška na nekoj decimali, a drugo jer se time komplikuje računanje. Umesto toga, pošto je [inlmath]\displaystyle\sin60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}[/inlmath], površina trougla će biti jednaka [inlmath]10\sqrt3[/inlmath] i to se dalje ne računa, ostavlja se tako.
Odatle se dobije da je [inlmath]r=\sqrt3[/inlmath] i [inlmath]\displaystyle R=\frac{7\sqrt3}{3}[/inlmath], i onda se prilikom računanja [inlmath]\displaystyle\frac{r}{R}[/inlmath] koreni fino skrate: [inlmath]\displaystyle\frac{r}{R}=\frac{\cancel{\sqrt3}}{\frac{7\cancel{\sqrt3}}{3}}=\frac{3}{7}[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7683
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4039 puta
Pohvaljen: 4110 puta

Re: Odnos poluprečnika upisane i opisane kružnice trougla – drugi probni prijemni FON 2019.

Postod Stefan Boricic » Nedelja, 07. Jul 2019, 18:46

Znam to, pomislih i na takav način, ali nastavih na moj način. :D :lol:
Mathematics is the language with which God wrote the universe. — Galileo
 
Postovi: 36
Zahvalio se: 12 puta
Pohvaljen: 8 puta


Povratak na GEOMETRIJA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 7 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Petak, 23. Avgust 2019, 18:10 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs