Drugi probni prijemni ispit FON – 20. jun 2019.
11. zadatak
Dužine dve stranice trougla koje zaklapaju ugao od [inlmath]60^\circ[/inlmath] su [inlmath]\text{5 cm}[/inlmath] i [inlmath]\text{8 cm}[/inlmath]. Ako su [inlmath]r[/inlmath] i [inlmath]R[/inlmath], redom poluprečnici upisane i opisane kružnice oko tog trougla, onda [inlmath]\displaystyle\frac{r}{R}[/inlmath] iznosi:
[inlmath]\displaystyle A)\;\frac{5}{14};\quad[/inlmath] [inlmath]\displaystyle B)\;\frac{3}{14};\quad[/inlmath] [inlmath]\displaystyle\enclose{circle}{C)}\;\frac{3}{7}\quad[/inlmath] [inlmath]\displaystyle D)\;\frac{1}{7};\quad[/inlmath] [inlmath]\displaystyle E)\;\frac{4}{7};\qquad[/inlmath] [inlmath]N)\;\text{Ne znam.}[/inlmath]
Za početak ćemo izračunati površinu trougla:
[dispmath]P=\frac{a\cdot b\cdot\sin\gamma}{2}\\
P=\frac{5\cdot8\cdot\sin60^\circ}{2}\\
P=20\cdot\sin60^\circ\\
P\approx17,32\text{ cm}^2[/dispmath] Sada ćemo iskoristiti kosinusnu teoremu da bismo izračunali stranicu [inlmath]c[/inlmath].
[dispmath]c^2=a^2+b^2-2ab\cdot\cos\gamma\iff c=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cdot\cos\gamma}\\
c=\sqrt{8^2+5^2-2\cdot5\cdot8\cdot\cos60^\circ}\\
c=\sqrt{64+25-80\cdot\cos60^\circ}\\
c=\sqrt{89-40}\\
c=\sqrt{49}\\
c =7\text{ cm}[/dispmath] Sada možemo izračunati [inlmath]r[/inlmath] i [inlmath]R[/inlmath]:
[dispmath]r=\frac{P}{s}\\
s=\frac{a+b+c}{2}\\
s=\frac{5+8+7}{2}\\
s=10\text{ cm}\\
r=\frac{17,32}{10}\\
r=1,732\text{ cm}[/dispmath][dispmath]R=\frac{abc}{4P}\\
R=\frac{5\cdot8\cdot7}{4\cdot17,32}\\
R=\frac{10\cdot7}{17,32}\\
R=\frac{70}{17,32}\\
R=4,041\text{ cm}[/dispmath][dispmath]\frac{r}{R}=\frac{1,732}{4,041}\\
\enclose{box}{\frac{r}{R}=\frac{3}{7}}[/dispmath]