od Daniel » Nedelja, 30. Jun 2013, 09:41
Znači, dobio si da je [inlmath]r=\frac{R}{H}\left(H-h\right)[/inlmath]? (Sa [inlmath]r[/inlmath] sam obeležio poluprečnik osnove valjka, sa [inlmath]h[/inlmath] visinu valjka, sa [inlmath]R[/inlmath] poluprečnik osnove kupe i sa [inlmath]H[/inlmath] visinu kupe.)
Sada u formulu za površinu omotača valjka,
[dispmath]M=2\pi rh[/dispmath]
izrazimo [inlmath]r[/inlmath] u funkciji od [inlmath]h[/inlmath]:
[dispmath]M=2\pi\frac{R}{H}\left(H-h\right)h[/dispmath]
Nađemo izvod površine omotača po visini valjka [inlmath]h[/inlmath] i izjednačimo ga s nulom, kako bismo dobili [inlmath]h[/inlmath] za koje je površina omotača maksimalna:
[dispmath]M'_h=2\pi\frac{R}{H}\left[\left(H-h\right)h\right]'=0[/dispmath][dispmath]\left(H-h\right)'\cdot h+\left(H-h\right)\cdot h'=0[/dispmath][dispmath]-h+\left(H-h\right)=0[/dispmath][dispmath]\underline{h=\frac{H}{2}}[/dispmath][dispmath]r=\frac{R}{H}\left(H-h\right)=\frac{R}{H}\left(H-\frac{H}{2}\right)=\frac{R}{\cancel H}\cdot\frac{\cancel H}{2}[/dispmath][dispmath]\underline{r=\frac{R}{2}}[/dispmath]
I onda, naravno, nađemo odnos dve zapremine:
[dispmath]\frac{V_v}{V}=\frac{\cancel\pi r^2h}{\frac{1}{3}\cancel\pi R^2H}[/dispmath][dispmath]\frac{V_v}{V}=\frac{3r^2h}{R^2H}[/dispmath][dispmath]\frac{V_v}{V}=\frac{3\left(\frac{\cancel R}{2}\right)^2\cdot\frac{\cancel H}{2}}{\cancel{R^2}\cancel H}[/dispmath][dispmath]\frac{V_v}{V}=\frac{3}{8}[/dispmath][dispmath]\enclose{box}{V_v=\frac{3}{8}V}[/dispmath]
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain