12. zadatak
Rotacijom pravouglog trougla, koji nije jednakokraki, oko hipotenuze formirano je obrtno telo [inlmath]T_1[/inlmath], a rotacijom oko duže katete obrtno telo [inlmath]T_2[/inlmath]. Ako je [inlmath]\alpha[/inlmath] najmanji ugao datog trougla, onda je odnos zapremina tela [inlmath]T_1[/inlmath] i [inlmath]T_2[/inlmath] jednak:
[inlmath]A)\;\sin\alpha;\quad[/inlmath] [inlmath]\enclose{circle}{B)}\;\cos\alpha;\quad[/inlmath] [inlmath]C)\;\text{ctg }\alpha;\quad[/inlmath] [inlmath]D)\;\displaystyle\frac{1}{\cos\alpha};\quad[/inlmath] [inlmath]E)\;\displaystyle\frac{1}{\sin\alpha}.[/inlmath]
Neka je dat pravougli trougao sa stranicama [inlmath]a[/inlmath], [inlmath]b[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath], pri čemu je [inlmath]c[/inlmath] hipotenuza i [inlmath]a[/inlmath] kraća kateta. Na osnovu slike (telo [inlmath]T_1[/inlmath]) može se zaključiti da je zapremina tela [inlmath]T_1[/inlmath] zbir zapremina dve kupe visina [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] sa zajedničkom osnovom, čiji je poluprečnik [inlmath]h_c[/inlmath]. Prema tome imamo da je zapremina tela [inlmath]T_1[/inlmath]:
[dispmath]V_1=\frac{1}{3}B_1x+\frac{1}{3}B_1y=\frac{1}{3}B_1(x+y)=\frac{1}{3}B_1c[/dispmath] gde je [inlmath]B_1=h_c^2\pi=(b\sin\alpha)^2\pi[/inlmath], pa imamo:
[dispmath]V_1=\frac{1}{3}b^2\sin^2\alpha\cdot\pi c[/dispmath]
Na osnovu slike (telo [inlmath]T_2[/inlmath]) može se zaključiti da je zapremina tela [inlmath]T_2[/inlmath] ujedno zapremina kupe čija je visina jednaka stranici [inlmath]b[/inlmath], dok joj je osnova [inlmath]B_2=a^2\pi[/inlmath], te imamo:
[dispmath]V_2=\frac{1}{3}B_2b=\frac{1}{3}a^2\pi b[/dispmath]
Prema tome, odnos zapremina tela [inlmath]T_1[/inlmath] i [inlmath]T_2[/inlmath] je:
[dispmath]\frac{V_1}{V_2}=\frac{b^2\sin^2\alpha\cdot\cancel{\pi}c}{a^2\cancel{\pi}b}[/dispmath] gde je [inlmath]\frac{b}{a}=\text{ctg }\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}[/inlmath], te imamo:
[dispmath]\frac{V_1}{V_2}=\frac{\cos^2\alpha\cancel{\sin^2\alpha}\cdot c}{\cancel{\sin^2\alpha}\cdot b}=\cos^2\alpha\cdot\left(\frac{b}{c}\right)^{-1}=\cos^{\cancel2}\alpha\cdot\frac{1}{\cancel{\cos\alpha}}=\cos\alpha[/dispmath]