Prijemni ispit ETF – 26. jun 2017.
10. zadatak
Zadatak glasi: U trouglu [inlmath]ABC[/inlmath] je [inlmath]|BC|=3\cdot|AB|[/inlmath] i [inlmath]\angle ABC=60^\circ[/inlmath]. Koliko iznosi [inlmath]\cos\angle BAC+\cos\angle ACB[/inlmath]. Tacno resenje je [inlmath]\frac{2}{\sqrt7}[/inlmath].
Neka je [inlmath]AB=a[/inlmath] i [inlmath]BC=3a[/inlmath]. Primenom kosinusne teoreme izracunao sam duzinu stranice [inlmath]AB=a\sqrt7[/inlmath]. Sad primenim sinusnu teoremu:
[dispmath]\frac{a\sqrt7}{\sin60^\circ}=\frac{a}{\sin\angle ACB}\;\Longrightarrow\;\sin\angle ACB=\frac{\sqrt3}{2\sqrt7}[/dispmath][dispmath]\frac{3a}{\sin\angle BAC}=\frac{a\sqrt7}{\sin60^\circ}\;\Longrightarrow\;\sin\angle BAC=\frac{3\sqrt3}{2\sqrt7}[/dispmath] Iz identiteta [inlmath]\sin^2\angle ACB+\cos^2\angle ACB=1[/inlmath] dobijam da je [inlmath]\cos\angle ACB=\frac{1}{2\sqrt7}[/inlmath] (ni sam ne znam zasto sam uzeo znak plus kad nigde ne pise da je trougao ostrougli). Analogno i za [inlmath]\angle BAC[/inlmath], dobija se da je [inlmath]\cos\angle BAC=\frac{5}{2\sqrt7}[/inlmath]. Dobijem da je konacno resenje [inlmath]\frac{3}{\sqrt7}[/inlmath]. Ocigledno negde gresim.
Nije mi jasan predznak kosinusa u zadatku, ali ni funkcija apsolutnih zagrada u postavci zadatka, pa ako bi neko bio ljubazan da objasni.
Hvala unpared.