Tačka preseka normala

PostPoslato: Subota, 17. Oktobar 2020, 05:57
od primus
Propozicija. Neka je dat proizvoljan trougao [inlmath]\triangle ABC[/inlmath] i tačka [inlmath]D[/inlmath] u njegovoj unutrašnjoj oblasti. Neka su [inlmath]T_1,T_2,T_3[/inlmath] težišne tačke trouglova [inlmath]\triangle ABD,\triangle BCD,\triangle CAD[/inlmath] respektivno. Ako su [inlmath]p,q,r[/inlmath] prave takve da je [inlmath]p\perp AB[/inlmath] i [inlmath]T_1\in p[/inlmath], [inlmath]q\perp BC[/inlmath] i [inlmath]T_2\in q[/inlmath], [inlmath]r\perp AC[/inlmath] i [inlmath]T_3\in r[/inlmath] tada se [inlmath]p[/inlmath], [inlmath]q[/inlmath] i [inlmath]r[/inlmath] seku u jednoj tački.

GeoGebra aplet koji demonstrira ovu propoziciju može se naći ovde. Interesuje me kako bi se moglo pristupiti ovom problemu, tj. smernice kako započeti dokaz.

Re: Tačka preseka normala

PostPoslato: Subota, 17. Oktobar 2020, 21:26
od Daniel
Početna ideja bi bila posmatrati trougao [inlmath]\triangle A'B'C'[/inlmath], gde je [inlmath]A'B'\parallel AB[/inlmath], [inlmath]T_1\in A'B'[/inlmath], [inlmath]B'C'\parallel BC[/inlmath], [inlmath]T_2\in B'C'[/inlmath], [inlmath]C'A'\parallel CA[/inlmath], [inlmath]T_3\in C'A'[/inlmath].

P.S. Zbog čega ovo u „Pseudomatematiku“? „Pseudomatematika“ je predviđena za razne trisekcije uglova, kvadrature kruga i slične kvazinaučne metode. U ovom zadatku nema ničeg nenaučnog, premestio sam ga u „Geometriju“.

Re: Tačka preseka normala

PostPoslato: Subota, 17. Oktobar 2020, 21:46
od Daniel
Naknadno uočih još jedan način – može i posmatranjem trougla [inlmath]\triangle T_1T_2T_3[/inlmath], pri čemu se lako dokaže da je [inlmath]T_1T_2\parallel AC[/inlmath], [inlmath]T_2T_3\parallel BA[/inlmath] i [inlmath]T_3T_1\parallel CB[/inlmath], nakon čega se dokaz svodi na poznatu činjenicu da se sve visine trougla seku u jednoj tački (u tački ortocentra).

Re: Tačka preseka normala

PostPoslato: Nedelja, 18. Oktobar 2020, 05:39
od primus
Da, upotrebom vektora može se pokazati da je: [inlmath]\vec{T_1T_2}=\frac{1}{3}\vec{AC}[/inlmath], [inlmath]\vec{T_2T_3}=\frac{1}{3}\vec{BA}[/inlmath], [inlmath]\vec{T_3T_1}=\frac{1}{3}\vec{CB}[/inlmath] odakle sledi [inlmath]T_1T_2\parallel AC[/inlmath], [inlmath]T_2T_3\parallel BA[/inlmath], [inlmath]T_3T_1\parallel CB[/inlmath].

UBR, zadatak sam sam smislio a nisam imao dokaz pa ga stoga stavih u rubriku "Pseudomatematika".

Re: Tačka preseka normala

PostPoslato: Nedelja, 18. Oktobar 2020, 21:09
od Daniel
Način bez vektora bio bi da se prvo, preko sličnosti trouglova, dokaže [inlmath]AC\parallel C_1A_1[/inlmath] (gde su [inlmath]A_1[/inlmath] i [inlmath]C_1[/inlmath], respektivno, središta stranica [inlmath]BC[/inlmath] i [inlmath]AB[/inlmath]), a zatim se, preko sličnosti trouglova [inlmath]\triangle DA_1C_1[/inlmath] i [inlmath]\triangle DT_2T_1[/inlmath], dokaže i [inlmath]C_1A_1\parallel T_1T_2[/inlmath].
Slično i za [inlmath]AB\parallel T_3T_2[/inlmath] i za [inlmath]BC\parallel T_1T_3[/inlmath].

Re: Tačka preseka normala

PostPoslato: Ponedeljak, 19. Oktobar 2020, 05:35
od primus
Moguće je napraviti generalizaciju ovog zadatka tako što trougao zamenimo bilo kojim tetivnim mnogouglom.
GeoGebra aplet za tetivni četvorougao.
GeoGebra aplet za tetivni petougao.

Re: Tačka preseka normala

PostPoslato: Ponedeljak, 19. Oktobar 2020, 12:37
od ubavic
primus, da li si ti smislio ovaj zadatak?

Re: Tačka preseka normala

PostPoslato: Ponedeljak, 19. Oktobar 2020, 13:39
od primus
Da. Zašto pitaš?

Re: Tačka preseka normala

PostPoslato: Ponedeljak, 19. Oktobar 2020, 14:01
od ubavic
Eto tako :)
Svaka čast, zanimljiv zadatak :)

Re: Tačka preseka normala

PostPoslato: Ponedeljak, 19. Oktobar 2020, 14:12
od primus
Hvala.