Podudarni trouglovi

PostPoslato: Ponedeljak, 28. Decembar 2020, 10:16
od primus
Zadatak. Dat je oštrougli trougao [inlmath]\triangle ABC[/inlmath]. Neka je [inlmath]H_A[/inlmath] podnožje visine iz temena [inlmath]A[/inlmath] na stranicu [inlmath]BC[/inlmath], [inlmath]H_B[/inlmath] podnožje visine iz temena [inlmath]B[/inlmath] na stranicu [inlmath]AC[/inlmath] i [inlmath]H_C[/inlmath] podnožje visine iz temena [inlmath]C[/inlmath] na stranicu [inlmath]AB[/inlmath]. Neka je [inlmath]H_1[/inlmath] ortocentar trougla [inlmath]\triangle AH_CH_B[/inlmath], [inlmath]H_2[/inlmath] ortocentar trougla [inlmath]\triangle H_CBH_A[/inlmath] i [inlmath]H_3[/inlmath] ortocentar trougla [inlmath]\triangle H_ACH_B[/inlmath]. Dokazati da je [inlmath]\triangle H_AH_BH_C\cong\triangle H_1H_2H_3[/inlmath].

GeoGebra pokazuje da je [inlmath]H_1H_2=H_AH_B[/inlmath], [inlmath]H_1H_2\parallel H_AH_B[/inlmath], [inlmath]H_1H_3=H_AH_C[/inlmath], [inlmath]H_1H_3\parallel H_AH_C[/inlmath], [inlmath]H_2H_3=H_BH_C[/inlmath], [inlmath]H_2H_3\parallel H_BH_C[/inlmath], međutim ja nemam ideju kako bi se mogle dokazati ove jednakosti i paralelnosti. Bilo kakve smernice kako početi dokaz su dobrodošle.

Re: Podudarni trouglovi

PostPoslato: Četvrtak, 31. Decembar 2020, 00:02
od Daniel
ortocentar.png
ortocentar.png (2.28 KiB) Pogledano 252 puta

[inlmath]H_AH_B=H_1H_2[/inlmath] sledi iz podudarnosti trouglova [inlmath]\triangle H_AH_BH[/inlmath] i [inlmath]\triangle H_2H_1H_C[/inlmath], koja se dokazuje prilično lako ako se uoče odgovarajući paralelogrami.

Sasvim analogno se dokazuje i [inlmath]H_BH_C=H_2H_3[/inlmath] i [inlmath]H_AH_C=H_1H_3[/inlmath].

(Nakon toga, dokazivanje [inlmath]H_AH_B\parallel H_1H_2[/inlmath], [inlmath]H_BH_C\parallel H_2H_3[/inlmath] i [inlmath]H_AH_C\parallel H_1H_3[/inlmath] je trivijalno, mada to i nije neophodan uslov za [inlmath]\triangle H_AH_BH_C\cong\triangle H_1H_2H_3[/inlmath] čije se dokazivanje u zadatku traži.)