Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI GEOMETRIJA

Tetivni i tangentni cetvorougao

[inlmath]\triangle ABC\sim\triangle A'B'C'[/inlmath]

Tetivni i tangentni cetvorougao

Postod Odd one out » Ponedeljak, 28. April 2014, 20:50

Da li neko moze da mi pojasni kako se dolazi do formula za [inlmath]d_1[/inlmath] i [inlmath]d_1[/inlmath] kod tetivnog i tangentnog cetvorougla,nasao sam na netu nesto ali je tome posvecena cela oblast jedne knjige a meni treba cisto nesto logicno da ne pamtim formule napamet.
 
Postovi: 59
Zahvalio se: 35 puta
Pohvaljen: 1 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Tetivni i tangentni cetvorougao

Postod Daniel » Ponedeljak, 28. April 2014, 23:48

Možeš li dati malo više informacija? OK, traže se dijagonale, četvorougao je (pretpostavljam) nepravilan, tj. posmatra se najopštiji slučaj, ali, šta je dato od elemenata tog četvorougla? Šta je dato od stranica, šta je dato od uglova, da li je dat poluprečnik upisane odnosno opisane kružnice, da li je data neka od visina iz nekog temena na neku od stranica...? Svakakve kombinacije su tu u igri, nemoguće je ovako uopšteno dati neki odgovor.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7932
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4140 puta
Pohvaljen: 4215 puta

Re: Tetivni i tangentni cetvorougao

Postod Odd one out » Ponedeljak, 05. Maj 2014, 15:41

Ove definicje sam nasao

Tetivni cetvorougao:da bi se mola opistai kruznica oko cetvorougla uslov je [inlmath]\alpha+\gamma=\beta+\delta=180[/inlmath] (nasparmni uglovi) i tada vazi [inlmath]d_1=\sqrt{\frac{(ac+bd)(ad+bc)}{(ab+cd)}}[/inlmath] i [inlmath]d_2=\sqrt{\frac{(ac+bd)(ab+cd)}{(bc+ad)}}[/inlmath] i [inlmath]P=\frac{d_1d_2}{2}\sin\phi,\;\sin\phi[/inlmath] je ugao izdmeju diagonala

Tangenti :da bi se mogla upisati kruznica u cetverouga mora da vazi :[inlmath]a+c=b+d[/inlmath] i [inlmath]P=(a+c)r[/inlmath] ili [inlmath]P=(b+d)r,\;O=2(a+c),\;O=2(b+d)[/inlmath]
 
Postovi: 59
Zahvalio se: 35 puta
Pohvaljen: 1 puta

Re: Tetivni i tangentni cetvorougao

Postod Daniel » Ponedeljak, 05. Maj 2014, 23:04

Odd one out je napisao:Tetivni cetvorougao:da bi se mola opistai kruznica oko cetvorougla uslov je [inlmath]\alpha+\gamma=\beta+\delta=180[/inlmath] (nasparmni uglovi) i tada vazi [inlmath]d_1=\sqrt{\frac{(ac+bd)(ad+bc)}{(ab+cd)}}[/inlmath] i [inlmath]d_2=\sqrt{\frac{(ac+bd)(ab+cd)}{(bc+ad)}}[/inlmath] i [inlmath]P=\frac{d_1d_2}{2}\sin\phi,\;\sin\phi[/inlmath] je ugao izdmeju diagonala

dijagonale.png
dijagonale.png (2.21 KiB) Pogledano 5819 puta

Ugao kod temena [inlmath]A[/inlmath] i ugao kod temena [inlmath]C[/inlmath] su suplementni, jer se nalaze s različitih strana iste tetive.

Primenom kosinusne teoreme na trougao [inlmath]\triangle BAD[/inlmath]:
[dispmath]d_1^2=a^2+b^2-2ab\cos\alpha\quad\left(1\right)[/dispmath]
Primenom kosinusne teoreme na trougao [inlmath]\triangle BCD[/inlmath]:
[dispmath]d_1^2=c^2+d^2-2cd\cos\left(180^\circ-\alpha\right)=c^2+d^2+2cd\cos\alpha\quad\left(2\right)[/dispmath]
Izjednačavanjem [inlmath]\left(1\right)[/inlmath] i [inlmath]\left(2\right)[/inlmath]:
[dispmath]a^2+b^2-2ab\cos\alpha=c^2+d^2+2cd\cos\alpha[/dispmath][dispmath]2ab\cos\alpha+2cd\cos\alpha=a^2+b^2-c^2-d^2[/dispmath][dispmath]2\left(ab+cd\right)\cos\alpha=a^2+b^2-c^2-d^2[/dispmath][dispmath]\cos\alpha=\frac{a^2+b^2-c^2-d^2}{2\left(ab+cd\right)}[/dispmath]
Sada to uvrstimo u [inlmath]\left(1\right)[/inlmath] ili u [inlmath]\left(2\right)[/inlmath]. Recimo, u [inlmath]\left(1\right)[/inlmath]:
[dispmath]d_1^2=a^2+b^2-\cancel 2ab\cdot\frac{a^2+b^2-c^2-d^2}{\cancel 2\left(ab+cd\right)}[/dispmath][dispmath]d_1^2=\frac{\left(a^2+b^2\right)\left(ab+cd\right)-ab\left(a^2+b^2\right)+ab\left(c^2+d^2\right)}{ab+cd}[/dispmath][dispmath]d_1^2=\frac{\cancel{ab\left(a^2+b^2\right)}+cd\left(a^2+b^2\right)-\cancel{ab\left(a^2+b^2\right)}+ab\left(c^2+d^2\right)}{ab+cd}[/dispmath][dispmath]d_1^2=\frac{cd\left(a^2+b^2\right)+ab\left(c^2+d^2\right)}{ab+cd}[/dispmath][dispmath]d_1^2=\frac{a^2cd+b^2cd+abc^2+abd^2}{ab+cd}[/dispmath][dispmath]d_1^2=\frac{ac\left(ad+bc\right)+bd\left(bc+ad\right)}{ab+cd}[/dispmath][dispmath]d_1^2=\frac{\left(ac+bd\right)\left(ad+bc\right)}{ab+cd}[/dispmath][dispmath]\enclose{box}{d_1=\sqrt{\frac{\left(ac+bd\right)\left(ad+bc\right)}{ab+cd}}}[/dispmath]
Potpuno analogno se izvodi i formula za dijagonalu [inlmath]d_2[/inlmath] – primeniš kosinusnu teoremu na trouglove [inlmath]\triangle ABC[/inlmath] i [inlmath]\triangle ADC[/inlmath] itd.



Formula [inlmath]P=\frac{d_1d_2}{2}\sin\varphi[/inlmath] važi kod svih četvorouglova, ne samo kod tetivnih.

povrsina.png
povrsina.png (1.83 KiB) Pogledano 5819 puta

Površina četvorougla [inlmath]ABCD[/inlmath] jednaka je zbiru površine trougla [inlmath]\triangle ABC[/inlmath] i površine trougla [inlmath]\triangle ACD[/inlmath].

Površina trougla [inlmath]\triangle ABC[/inlmath]:
[dispmath]P_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot h_1[/dispmath][dispmath]\sin\varphi=\frac{h_1}{BM}\quad\Rightarrow\quad h_1=BM\sin\varphi[/dispmath][dispmath]P_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BM\sin\varphi[/dispmath]
Površina trougla [inlmath]\triangle ADC[/inlmath]:
[dispmath]P_{\triangle ADC}=\frac{1}{2}AC\cdot h_2[/dispmath][dispmath]\sin\varphi=\frac{h_2}{DM}\quad\Rightarrow\quad h_2=DM\sin\varphi[/dispmath][dispmath]P_{\triangle ADC}=\frac{1}{2}AC\cdot DM\sin\varphi[/dispmath]
[dispmath]P_{ABCD}=P_{\triangle ABC}+P_{\triangle ADC}[/dispmath][dispmath]P_{ABCD}=\frac{1}{2}AC\cdot BM\sin\varphi+\frac{1}{2}AC\cdot DM\sin\varphi[/dispmath][dispmath]P_{ABCD}=\frac{1}{2}AC\cdot\underbrace{\left(BM+DM\right)}_{BD}\sin\varphi[/dispmath][dispmath]P_{ABCD}=\frac{1}{2}AC\cdot BD\sin\varphi[/dispmath]
Kako je [inlmath]AC=d_1[/inlmath] i [inlmath]BD=d_2[/inlmath], izraz za površinu četvorougla je:
[dispmath]\enclose{box}{P_{ABCD}=\frac{1}{2}d_1d_2\sin\varphi}[/dispmath]
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7932
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4140 puta
Pohvaljen: 4215 puta

Re: Tetivni i tangentni cetvorougao

Postod Daniel » Utorak, 06. Maj 2014, 00:36

Odd one out je napisao:Tangenti :da bi se mogla upisati kruznica u cetverouga mora da vazi :[inlmath]a+c=b+d[/inlmath] i [inlmath]P=(a+c)r[/inlmath] ili [inlmath]P=(b+d)r,\;O=2(a+c),\;O=2(b+d)[/inlmath]

tangentni cetvorougao.png
tangentni cetvorougao.png (2.42 KiB) Pogledano 5816 puta

Na osnovu SSU možemo zaključiti da su međusobno podudarni sledeći trouglovi: [inlmath]\triangle APO[/inlmath] i [inlmath]\triangle ASO[/inlmath], [inlmath]\triangle BPO[/inlmath] i [inlmath]\triangle BQO[/inlmath], [inlmath]\triangle CQO[/inlmath] i [inlmath]\triangle CRO[/inlmath], kao i [inlmath]\triangle DRO[/inlmath] i [inlmath]\triangle DSO[/inlmath]. Iz njihovih podudarnosti izvodimo zaključke o međusobnoj jednakosti određenih stranica, i to:
[dispmath]\triangle APO\cong\triangle ASO\quad\Rightarrow\quad AP=AS\\
\triangle BPO\cong\triangle BQO\quad\Rightarrow\quad BP=BQ\\
\triangle CQO\cong\triangle CRO\quad\Rightarrow\quad CQ=CR\\
\triangle DRO\cong\triangle DSO\quad\Rightarrow\quad DR=DS[/dispmath]
Odatle sledi:
[dispmath]a+c=AB+CD=AP+BP+CR+DR=AS+BQ+CQ+DS=\\
=\underbrace{DS+AS}_{DA}+\underbrace{BQ+CQ}_{BC}=BC+DA=b+d[/dispmath][dispmath]\Rightarrow\quad\enclose{box}{a+c=b+d}[/dispmath]


Površina tangentnog četvorougla [inlmath]ABCD[/inlmath] jednaka je zbiru površina trouglova [inlmath]\triangle AOB[/inlmath], [inlmath]\triangle BOC[/inlmath], [inlmath]\triangle COD[/inlmath] i [inlmath]\triangle DOA[/inlmath]:
[dispmath]P_{ABCD}=P_{\triangle AOB}+P_{\triangle BOC}+P_{\triangle COD}+P_{\triangle DOA}[/dispmath][dispmath]P_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}AB\cdot OP=\frac{1}{2}AB\cdot r\\
P_{\triangle BOC}=\frac{1}{2}BC\cdot OQ=\frac{1}{2}BC\cdot r\\
P_{\triangle COD}=\frac{1}{2}CD\cdot OR=\frac{1}{2}CD\cdot r\\
P_{\triangle DOA}=\frac{1}{2}DA\cdot OS=\frac{1}{2}DA\cdot r[/dispmath][dispmath]\Rightarrow\quad P_{ABCD}=\frac{1}{2}AB\cdot r+\frac{1}{2}BC\cdot r+\frac{1}{2}CD\cdot r+\frac{1}{2}DA\cdot r[/dispmath][dispmath]P_{ABCD}=\frac{1}{2}\left(AB+BC+CD+DA\right)\cdot r[/dispmath][dispmath]P_{ABCD}=\frac{1}{2}\left(a+b+c+d\right)\cdot r[/dispmath][dispmath]P_{ABCD}=\frac{1}{2}\left(a+c+\underbrace{b+d}_{a+c}\right)\cdot r[/dispmath][dispmath]P_{ABCD}=\frac{1}{\cancel 2}\cdot\cancel 2\left(a+c\right)\cdot r[/dispmath][dispmath]\enclose{box}{P_{ABCD}=\left(a+c\right)\cdot r}[/dispmath]
Kako je [inlmath]a+c=b+d[/inlmath], tako je, takođe:
[dispmath]\enclose{box}{P_{ABCD}=\left(b+d\right)\cdot r}[/dispmath]


Obim tangentnog četvorougla:
[dispmath]O=a+b+c+d[/dispmath][dispmath]O=a+c+\underbrace{b+d}_{a+c}[/dispmath][dispmath]\enclose{box}{O=2\left(a+c\right)}[/dispmath]
Kako je [inlmath]a+c=b+d[/inlmath], tako je, takođe:
[dispmath]\enclose{box}{O=2\left(b+d\right)}[/dispmath]
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7932
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4140 puta
Pohvaljen: 4215 puta

Re: Tetivni i tangentni cetvorougao

Postod Odd one out » Utorak, 06. Maj 2014, 11:21

svaka cast,sad mi je sve jasno ,hvala puno
 
Postovi: 59
Zahvalio se: 35 puta
Pohvaljen: 1 puta

Re: Tetivni i tangentni cetvorougao

Postod Gamma » Nedelja, 23. Novembar 2014, 02:15

Evo kada već ima tema da ne otvaram novu temu bezveze.Jasno mi je sve vezano za tangentni četvorougao.A za tetivni nisam mogao da nađem objašnjenje žašto mora zbir nasuprotnih uglova biti [inlmath]180^\circ[/inlmath]? Mislim žašto je to uslov da se opiše kružnica oko njega?Ja sam probavao nešto izvesti preko sličnosti ali nije mi se dalo.
Gamma  OFFLINE
 
Postovi: 1009
Zahvalio se: 183 puta
Pohvaljen: 239 puta

Re: Tetivni i tangentni cetvorougao

Postod Gamma » Nedelja, 23. Novembar 2014, 13:30

Evo uspio sam dokazati preko centralnog i periferijskog ugla.Jednostavno je. Ne znam ni ja što mi se to činilo komplikovanim..
Gamma  OFFLINE
 
Postovi: 1009
Zahvalio se: 183 puta
Pohvaljen: 239 puta

  • +1

Re: Tetivni i tangentni cetvorougao

Postod Daniel » Nedelja, 23. Novembar 2014, 14:21

Ili, jednostavno uočiš da su to periferijski uglovi s raznih strana iste tetive, a oni su međusobno suplementni (tj. zbir im je [inlmath]180^\circ[/inlmath]).
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7932
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4140 puta
Pohvaljen: 4215 puta

Re: Tetivni i tangentni cetvorougao

Postod Gamma » Nedelja, 23. Novembar 2014, 15:15

Upravo tako sam i radio.Mislim dokaz mi se svodi da dokažem da su ti uglovi suplementni.
Gamma  OFFLINE
 
Postovi: 1009
Zahvalio se: 183 puta
Pohvaljen: 239 puta

Sledeća

Povratak na GEOMETRIJA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 26 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Subota, 28. Mart 2020, 22:01 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs