Odd one out je napisao:Tetivni cetvorougao:da bi se mola opistai kruznica oko cetvorougla uslov je [inlmath]\alpha+\gamma=\beta+\delta=180[/inlmath] (nasparmni uglovi) i tada vazi [inlmath]d_1=\sqrt{\frac{(ac+bd)(ad+bc)}{(ab+cd)}}[/inlmath] i [inlmath]d_2=\sqrt{\frac{(ac+bd)(ab+cd)}{(bc+ad)}}[/inlmath] i [inlmath]P=\frac{d_1d_2}{2}\sin\phi,\;\sin\phi[/inlmath] je ugao izdmeju diagonala
- dijagonale.png (2.21 KiB) Pogledano 9702 puta
Ugao kod temena [inlmath]A[/inlmath] i ugao kod temena [inlmath]C[/inlmath] su suplementni, jer se nalaze s različitih strana iste tetive.
Primenom kosinusne teoreme na trougao [inlmath]\triangle BAD[/inlmath]:
[dispmath]d_1^2=a^2+b^2-2ab\cos\alpha\quad\left(1\right)[/dispmath]
Primenom kosinusne teoreme na trougao [inlmath]\triangle BCD[/inlmath]:
[dispmath]d_1^2=c^2+d^2-2cd\cos\left(180^\circ-\alpha\right)=c^2+d^2+2cd\cos\alpha\quad\left(2\right)[/dispmath]
Izjednačavanjem [inlmath]\left(1\right)[/inlmath] i [inlmath]\left(2\right)[/inlmath]:
[dispmath]a^2+b^2-2ab\cos\alpha=c^2+d^2+2cd\cos\alpha[/dispmath][dispmath]2ab\cos\alpha+2cd\cos\alpha=a^2+b^2-c^2-d^2[/dispmath][dispmath]2\left(ab+cd\right)\cos\alpha=a^2+b^2-c^2-d^2[/dispmath][dispmath]\cos\alpha=\frac{a^2+b^2-c^2-d^2}{2\left(ab+cd\right)}[/dispmath]
Sada to uvrstimo u [inlmath]\left(1\right)[/inlmath] ili u [inlmath]\left(2\right)[/inlmath]. Recimo, u [inlmath]\left(1\right)[/inlmath]:
[dispmath]d_1^2=a^2+b^2-\cancel 2ab\cdot\frac{a^2+b^2-c^2-d^2}{\cancel 2\left(ab+cd\right)}[/dispmath][dispmath]d_1^2=\frac{\left(a^2+b^2\right)\left(ab+cd\right)-ab\left(a^2+b^2\right)+ab\left(c^2+d^2\right)}{ab+cd}[/dispmath][dispmath]d_1^2=\frac{\cancel{ab\left(a^2+b^2\right)}+cd\left(a^2+b^2\right)-\cancel{ab\left(a^2+b^2\right)}+ab\left(c^2+d^2\right)}{ab+cd}[/dispmath][dispmath]d_1^2=\frac{cd\left(a^2+b^2\right)+ab\left(c^2+d^2\right)}{ab+cd}[/dispmath][dispmath]d_1^2=\frac{a^2cd+b^2cd+abc^2+abd^2}{ab+cd}[/dispmath][dispmath]d_1^2=\frac{ac\left(ad+bc\right)+bd\left(bc+ad\right)}{ab+cd}[/dispmath][dispmath]d_1^2=\frac{\left(ac+bd\right)\left(ad+bc\right)}{ab+cd}[/dispmath][dispmath]\enclose{box}{d_1=\sqrt{\frac{\left(ac+bd\right)\left(ad+bc\right)}{ab+cd}}}[/dispmath]
Potpuno analogno se izvodi i formula za dijagonalu [inlmath]d_2[/inlmath] – primeniš kosinusnu teoremu na trouglove [inlmath]\triangle ABC[/inlmath] i [inlmath]\triangle ADC[/inlmath] itd.
Formula [inlmath]P=\frac{d_1d_2}{2}\sin\varphi[/inlmath] važi kod svih četvorouglova, ne samo kod tetivnih.
- povrsina.png (1.83 KiB) Pogledano 9702 puta
Površina četvorougla [inlmath]ABCD[/inlmath] jednaka je zbiru površine trougla [inlmath]\triangle ABC[/inlmath] i površine trougla [inlmath]\triangle ACD[/inlmath].
Površina trougla [inlmath]\triangle ABC[/inlmath]:
[dispmath]P_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot h_1[/dispmath][dispmath]\sin\varphi=\frac{h_1}{BM}\quad\Rightarrow\quad h_1=BM\sin\varphi[/dispmath][dispmath]P_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BM\sin\varphi[/dispmath]
Površina trougla [inlmath]\triangle ADC[/inlmath]:
[dispmath]P_{\triangle ADC}=\frac{1}{2}AC\cdot h_2[/dispmath][dispmath]\sin\varphi=\frac{h_2}{DM}\quad\Rightarrow\quad h_2=DM\sin\varphi[/dispmath][dispmath]P_{\triangle ADC}=\frac{1}{2}AC\cdot DM\sin\varphi[/dispmath]
[dispmath]P_{ABCD}=P_{\triangle ABC}+P_{\triangle ADC}[/dispmath][dispmath]P_{ABCD}=\frac{1}{2}AC\cdot BM\sin\varphi+\frac{1}{2}AC\cdot DM\sin\varphi[/dispmath][dispmath]P_{ABCD}=\frac{1}{2}AC\cdot\underbrace{\left(BM+DM\right)}_{BD}\sin\varphi[/dispmath][dispmath]P_{ABCD}=\frac{1}{2}AC\cdot BD\sin\varphi[/dispmath]
Kako je [inlmath]AC=d_1[/inlmath] i [inlmath]BD=d_2[/inlmath], izraz za površinu četvorougla je:
[dispmath]\enclose{box}{P_{ABCD}=\frac{1}{2}d_1d_2\sin\varphi}[/dispmath]