Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI GEOMETRIJA

Nekoliko zadataka iz geometrije

[inlmath]\triangle ABC\sim\triangle A'B'C'[/inlmath]

Nekoliko zadataka iz geometrije

Postod Pedagoski_Matematika » Četvrtak, 24. Januar 2013, 17:45

Kako da uradim ove zadatke?
1.
Ako su [inlmath]M[/inlmath] i [inlmath]N[/inlmath] tacke u kojima je prava paralelna s osnovicama trapeza koja prolazi kroz presjek njegovih dijagonala, sijece krake [inlmath]BC[/inlmath] i [inlmath]AD[/inlmath] dokazati da je tacka [inlmath]O[/inlmath] srediste duzi [inlmath]MN[/inlmath].
2.
U pravouglom trouglu [inlmath]ABC[/inlmath] tacka [inlmath]S[/inlmath] je poloviste hipotenuze [inlmath]AB[/inlmath], pri cemu je [inlmath]|SC|=20[/inlmath]. Na kateti [inlmath]AC[/inlmath] odabrana je tacka [inlmath]E[/inlmath], tako da je [inlmath]ES\perp AB[/inlmath] i [inlmath]|ES|=15[/inlmath]. Kolika je povrsina trougla [inlmath]ABC[/inlmath]?
3.
Izracunati zapreminu pravilne trostrane zarubljene piramide ako su ivice osnova [inlmath]a_1[/inlmath] i [inlmath]a_2[/inlmath], a povrsina omotaca jednaka zbiru povrsina osnova.
Unaprijed hvala!
 
Postovi: 6
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Nekoliko zadataka iz geometrije

Postod Daniel » Četvrtak, 24. Januar 2013, 23:15

Evo zasad prvog...

trapez.png
trapez.png (1.31 KiB) Pogledano 595 puta

Trouglovi [inlmath]\triangle ABD[/inlmath] i [inlmath]\triangle NOD[/inlmath] su slični (imaju jedan zajednički ugao, a ostali uglovi su uglovi s paralelnim kracima).
Iz sličnosti pomenutih trouglova sledi
[dispmath]ND:AD=NO:AB\quad\left(1\right)[/dispmath]
Na isti način, iz sličnosti trouglova [inlmath]\triangle ABC[/inlmath] i [inlmath]\triangle OMC[/inlmath] sledi
[dispmath]OC:AC=OM:AB\quad\left(2\right)[/dispmath]
Takođe, iz sličnosti trouglova [inlmath]\triangle ACD[/inlmath] i [inlmath]\triangle AON[/inlmath] sledi
[dispmath]AN:AD=AO:AC[/dispmath]
[dispmath]\left(AD-ND\right):AD=\left(AC-OC\right):AC[/dispmath]
[dispmath]AC\cdot\left(AD-ND\right)=AD\cdot\left(AC-OC\right)[/dispmath]
[dispmath]AC\cdot AD-AC\cdot ND=AD\cdot AC-AD\cdot OC[/dispmath]
[dispmath]AC\cdot ND=AD\cdot OC[/dispmath]
[dispmath]ND:AD=OC:AC\quad\left(3\right)[/dispmath]
[dispmath]\left(1\right),\;\left(2\right),\;\left(3\right)\quad\Rightarrow\quad NO:AB=OM:AB\quad\Rightarrow\quad NO=OM[/dispmath]
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Nekoliko zadataka iz geometrije

Postod Daniel » Petak, 25. Januar 2013, 15:39

Pedagoski_Matematika je napisao:3.
Izracunati zapreminu pravilne trostrane zarubljene piramide ako su ivice osnova [inlmath]a_1[/inlmath] i [inlmath]a_2[/inlmath], a povrsina omotaca jednaka zbiru povrsina osnova.
Unaprijed hvala!

Zapremina zarubljene piramide data je formulom
[dispmath]V=\frac{1}{3}H\left(B+\sqrt{Bb}+b\right)[/dispmath]
gde je
[inlmath]H[/inlmath] – visina zarubljene piramide
[inlmath]B[/inlmath] – površina jedne osnove
[inlmath]b[/inlmath] – površina druge osnove

[dispmath]B=\frac{a_1^2\sqrt 3}{4}[/dispmath]
[dispmath]b=\frac{a_2^2\sqrt 3}{4}[/dispmath]
[dispmath]\Rightarrow\quad V=\frac{1}{3}H\left(\frac{a_1^2\sqrt 3}{4}+\sqrt{\frac{a_1^2\sqrt 3}{4}\cdot\frac{a_2^2\sqrt 3}{4}}+\frac{a_2^2\sqrt 3}{4}\right)[/dispmath]
[dispmath]V=\frac{\sqrt 3}{12}H\left(a_1^2+a_1a_2+a_2^2\right)\quad\left(1\right)[/dispmath]

Nepoznata nam je visina [inlmath]H[/inlmath].

Površina omotača, po uslovu zadatka, jednaka je zbiru osnova:
[dispmath]M=B+b=\frac{a_1^2\sqrt 3}{4}+\frac{a_2^2\sqrt 3}{4}=\frac{\left(a_1^2+a_2^2\right)\sqrt 3}{4}\quad\left(2\right)[/dispmath]
Omotač se sastoji od tri jednakokraka trapeza, čija je jedna osnova [inlmath]a_1[/inlmath], a druga [inlmath]a_2[/inlmath]:
[dispmath]M=3P_{TR}\quad\left(3\right)[/dispmath]
Površina svakog trapeza je
[dispmath]P_{TR}=\frac{a_1+a_2}{2}\cdot h\quad\left(4\right)[/dispmath]
gde je [inlmath]h[/inlmath] – visina trapeza.

Iz [inlmath]\left(2\right),\left(3\right),\left(4\right)[/inlmath] sledi
[dispmath]\frac{\left(a_1^2+a_2^2\right)\sqrt 3}{4}=3\frac{a_1+a_2}{2}\cdot h\quad\Rightarrow\quad h=\frac{\frac{\left(a_1^2+a_2^2\right)\sqrt 3}{4}}{3\frac{a_1+a_2}{2}}\quad\Rightarrow\quad h=\frac{\sqrt 3}{6}\cdot\frac{a_1^2+a_2^2}{a_1+a_2}\quad\left(5\right)[/dispmath]
Visinu zarubljene piramide [inlmath]H[/inlmath] možemo odrediti na osnovu sledeće slike:

zarubljena_piramida.png
zarubljena_piramida.png (2.41 KiB) Pogledano 587 puta

[dispmath]H=\sqrt{h^2-x^2}\quad\left(6\right)[/dispmath]
Rastojanje [inlmath]x[/inlmath] određujemo na sledeći način:

trougli.png
trougli.png (2.03 KiB) Pogledano 587 puta

Centar jednakostraničnog trougla se nalazi na trećini visine trougla, gledano od osnovice trougla. To znači da, na osnovu slike, traženo rastojanje [inlmath]x[/inlmath] možemo izraziti kao
[dispmath]x=\frac{1}{3}\cdot\frac{a_1\sqrt 3}{2}-\frac{1}{3}\cdot\frac{a_2\sqrt 3}{2}[/dispmath]
[dispmath]x=\frac{\sqrt 3}{6}\left(a_1-a_2\right)\quad\left(7\right)[/dispmath]
Na osnovu [inlmath]\left(5\right),\left(6\right),\left(7\right)[/inlmath] nalazimo visinu zarubljene piramide [inlmath]H[/inlmath]:
[dispmath]H=\sqrt{\left(\frac{\sqrt 3}{6}\cdot\frac{a_1^2+a_2^2}{a_1+a_2}\right)^2-\left[\frac{\sqrt 3}{6}\left(a_1-a_2\right)\right]^2}[/dispmath]
[dispmath]H=\frac{\sqrt 3}{6}\sqrt{\left(\frac{a_1^2+a_2^2}{a_1+a_2}\right)^2-\left(a_1-a_2\right)^2}\quad\left(8\right)[/dispmath]
I, na kraju, iz [inlmath]\left(1\right)[/inlmath] i [inlmath]\left(8\right)[/inlmath] dobijamo formulu za zapreminu zarubljene piramide:
[dispmath]V=\frac{\sqrt 3}{12}\cdot\frac{\sqrt 3}{6}\sqrt{\left(\frac{a_1^2+a_2^2}{a_1+a_2}\right)^2-\left(a_1-a_2\right)^2}\cdot\left(a_1^2+a_1a_2+a_2^2\right)[/dispmath]
I, sad se to još može malo srediti...
[dispmath]V=\frac{1}{24}\left(a_1^2+a_1a_2+a_2^2\right)\sqrt{\left(\frac{a_1^2+a_2^2}{a_1+a_2}\right)^2-\left(a_1-a_2\right)^2}[/dispmath]
[dispmath]V=\frac{1}{24}\left(a_1^2+a_1a_2+a_2^2\right)\sqrt{\left(\frac{a_1^2+a_2^2}{a_1+a_2}\right)^2-\frac{\left(a_1-a_2\right)^2\left(a_1+a_2\right)^2}{\left(a_1+a_2\right)^2}}[/dispmath]
[dispmath]V=\frac{1}{24}\frac{a_1^2+a_1a_2+a_2^2}{a_1+a_2}\sqrt{\left(a_1^2+a_2^2\right)^2-\left(a_1-a_2\right)^2\left(a_1+a_2\right)^2}[/dispmath]
[dispmath]V=\frac{1}{24}\frac{a_1^2+a_1a_2+a_2^2}{a_1+a_2}\sqrt{\left(a_1^2+a_2^2\right)^2-\left(a_1^2-a_2^2\right)^2}[/dispmath]
[dispmath]V=\frac{1}{24}\frac{a_1^2+a_1a_2+a_2^2}{a_1+a_2}\sqrt{a_1^4+2a_1^2a_2^2+a_2^4-a_1^4+2a_1^2a_2^2-a_2^4}[/dispmath]
[dispmath]V=\frac{1}{24}\cdot\frac{2a_1a_2}{a_1+a_2}\left(a_1^2+a_1a_2+a_2^2\right)[/dispmath]
[dispmath]V=\frac{1}{12}\cdot\frac{a_1a_2}{a_1+a_2}\left(a_1^2+a_1a_2+a_2^2\right)[/dispmath]
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Nekoliko zadataka iz geometrije

Postod Daniel » Petak, 25. Januar 2013, 18:14

Pedagoski_Matematika je napisao:2.
U pravouglom trouglu [inlmath]ABC[/inlmath] tacka [inlmath]S[/inlmath] je poloviste hipotenuze [inlmath]AB[/inlmath], pri cemu je [inlmath]|SC|=20[/inlmath]. Na kateti [inlmath]AC[/inlmath] odabrana je tacka [inlmath]E[/inlmath], tako da je [inlmath]ES\perp AB[/inlmath] i [inlmath]|ES|=15[/inlmath]. Kolika je povrsina trougla [inlmath]ABC[/inlmath]?


trougao.png
trougao.png (1.04 KiB) Pogledano 582 puta

Pošto se tačka [inlmath]S[/inlmath] nalazi na središtu hipotenuze [inlmath]AB[/inlmath], biće :
[dispmath]\left|AS\right|=\left|BS\right|=\left|SC\right|=20[/dispmath]
[dispmath]\left|AB\right|=\left|AS\right|+\left|BS\right|=40[/dispmath]
Posmatramo trougao [inlmath]\triangle ASE[/inlmath]:
[dispmath]\tan\alpha=\frac{\left|ES\right|}{\left|AS\right|}=\frac{15}{20}=\frac{3}{4}[/dispmath]
Pa zatim posmatramo trougao [inlmath]\triangle ABC[/inlmath]:
[dispmath]\frac{\left|BC\right|}{\left|AC\right|}=\tan\alpha=\frac{3}{4}\quad\Rightarrow\quad\left|BC\right|=\frac{3}{4}\left|AC\right|[/dispmath]
[dispmath]\left|AB\right|^2=\left|BC\right|^2+\left|AC\right|^2[/dispmath]
[dispmath]40^2=\left(\frac{3}{4}\left|AC\right|\right)^2+\left|AC\right|^2=\frac{25}{16}\left|AC\right|^2[/dispmath]
[dispmath]\left|AC\right|^2=\frac{16}{25}\cdot 40^2[/dispmath]
[dispmath]\left|AC\right|=\frac{4}{5}\cdot 40=32[/dispmath]
[dispmath]\left|BC\right|=\frac{3}{4}\left|AC\right|=\frac{3}{4}\cdot 32=24[/dispmath]
[dispmath]P_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\left|BC\right|\cdot\left|AC\right|=\frac{1}{2}\cdot 32\cdot 24=384[/dispmath]
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta


Povratak na GEOMETRIJA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 22 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 09:13 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs