Pedagoski_Matematika je napisao:3.
Izracunati zapreminu pravilne trostrane zarubljene piramide ako su ivice osnova [inlmath]a_1[/inlmath] i [inlmath]a_2[/inlmath], a povrsina omotaca jednaka zbiru povrsina osnova.
Unaprijed hvala!
Zapremina zarubljene piramide data je formulom
[dispmath]V=\frac{1}{3}H\left(B+\sqrt{Bb}+b\right)[/dispmath]
gde je
[inlmath]H[/inlmath] – visina zarubljene piramide
[inlmath]B[/inlmath] – površina jedne osnove
[inlmath]b[/inlmath] – površina druge osnove
[dispmath]B=\frac{a_1^2\sqrt 3}{4}[/dispmath]
[dispmath]b=\frac{a_2^2\sqrt 3}{4}[/dispmath]
[dispmath]\Rightarrow\quad V=\frac{1}{3}H\left(\frac{a_1^2\sqrt 3}{4}+\sqrt{\frac{a_1^2\sqrt 3}{4}\cdot\frac{a_2^2\sqrt 3}{4}}+\frac{a_2^2\sqrt 3}{4}\right)[/dispmath]
[dispmath]V=\frac{\sqrt 3}{12}H\left(a_1^2+a_1a_2+a_2^2\right)\quad\left(1\right)[/dispmath]
Nepoznata nam je visina [inlmath]H[/inlmath].
Površina omotača, po uslovu zadatka, jednaka je zbiru osnova:
[dispmath]M=B+b=\frac{a_1^2\sqrt 3}{4}+\frac{a_2^2\sqrt 3}{4}=\frac{\left(a_1^2+a_2^2\right)\sqrt 3}{4}\quad\left(2\right)[/dispmath]
Omotač se sastoji od tri jednakokraka trapeza, čija je jedna osnova [inlmath]a_1[/inlmath], a druga [inlmath]a_2[/inlmath]:
[dispmath]M=3P_{TR}\quad\left(3\right)[/dispmath]
Površina svakog trapeza je
[dispmath]P_{TR}=\frac{a_1+a_2}{2}\cdot h\quad\left(4\right)[/dispmath]
gde je [inlmath]h[/inlmath] – visina trapeza.
Iz [inlmath]\left(2\right),\left(3\right),\left(4\right)[/inlmath] sledi
[dispmath]\frac{\left(a_1^2+a_2^2\right)\sqrt 3}{4}=3\frac{a_1+a_2}{2}\cdot h\quad\Rightarrow\quad h=\frac{\frac{\left(a_1^2+a_2^2\right)\sqrt 3}{4}}{3\frac{a_1+a_2}{2}}\quad\Rightarrow\quad h=\frac{\sqrt 3}{6}\cdot\frac{a_1^2+a_2^2}{a_1+a_2}\quad\left(5\right)[/dispmath]
Visinu zarubljene piramide [inlmath]H[/inlmath] možemo odrediti na osnovu sledeće slike:
- zarubljena_piramida.png (2.41 KiB) Pogledano 587 puta
[dispmath]H=\sqrt{h^2-x^2}\quad\left(6\right)[/dispmath]
Rastojanje [inlmath]x[/inlmath] određujemo na sledeći način:
- trougli.png (2.03 KiB) Pogledano 587 puta
Centar jednakostraničnog trougla se nalazi na trećini visine trougla, gledano od osnovice trougla. To znači da, na osnovu slike, traženo rastojanje [inlmath]x[/inlmath] možemo izraziti kao
[dispmath]x=\frac{1}{3}\cdot\frac{a_1\sqrt 3}{2}-\frac{1}{3}\cdot\frac{a_2\sqrt 3}{2}[/dispmath]
[dispmath]x=\frac{\sqrt 3}{6}\left(a_1-a_2\right)\quad\left(7\right)[/dispmath]
Na osnovu [inlmath]\left(5\right),\left(6\right),\left(7\right)[/inlmath] nalazimo visinu zarubljene piramide [inlmath]H[/inlmath]:
[dispmath]H=\sqrt{\left(\frac{\sqrt 3}{6}\cdot\frac{a_1^2+a_2^2}{a_1+a_2}\right)^2-\left[\frac{\sqrt 3}{6}\left(a_1-a_2\right)\right]^2}[/dispmath]
[dispmath]H=\frac{\sqrt 3}{6}\sqrt{\left(\frac{a_1^2+a_2^2}{a_1+a_2}\right)^2-\left(a_1-a_2\right)^2}\quad\left(8\right)[/dispmath]
I, na kraju, iz [inlmath]\left(1\right)[/inlmath] i [inlmath]\left(8\right)[/inlmath] dobijamo formulu za zapreminu zarubljene piramide:
[dispmath]V=\frac{\sqrt 3}{12}\cdot\frac{\sqrt 3}{6}\sqrt{\left(\frac{a_1^2+a_2^2}{a_1+a_2}\right)^2-\left(a_1-a_2\right)^2}\cdot\left(a_1^2+a_1a_2+a_2^2\right)[/dispmath]
I, sad se to još može malo srediti...
[dispmath]V=\frac{1}{24}\left(a_1^2+a_1a_2+a_2^2\right)\sqrt{\left(\frac{a_1^2+a_2^2}{a_1+a_2}\right)^2-\left(a_1-a_2\right)^2}[/dispmath]
[dispmath]V=\frac{1}{24}\left(a_1^2+a_1a_2+a_2^2\right)\sqrt{\left(\frac{a_1^2+a_2^2}{a_1+a_2}\right)^2-\frac{\left(a_1-a_2\right)^2\left(a_1+a_2\right)^2}{\left(a_1+a_2\right)^2}}[/dispmath]
[dispmath]V=\frac{1}{24}\frac{a_1^2+a_1a_2+a_2^2}{a_1+a_2}\sqrt{\left(a_1^2+a_2^2\right)^2-\left(a_1-a_2\right)^2\left(a_1+a_2\right)^2}[/dispmath]
[dispmath]V=\frac{1}{24}\frac{a_1^2+a_1a_2+a_2^2}{a_1+a_2}\sqrt{\left(a_1^2+a_2^2\right)^2-\left(a_1^2-a_2^2\right)^2}[/dispmath]
[dispmath]V=\frac{1}{24}\frac{a_1^2+a_1a_2+a_2^2}{a_1+a_2}\sqrt{a_1^4+2a_1^2a_2^2+a_2^4-a_1^4+2a_1^2a_2^2-a_2^4}[/dispmath]
[dispmath]V=\frac{1}{24}\cdot\frac{2a_1a_2}{a_1+a_2}\left(a_1^2+a_1a_2+a_2^2\right)[/dispmath]
[dispmath]V=\frac{1}{12}\cdot\frac{a_1a_2}{a_1+a_2}\left(a_1^2+a_1a_2+a_2^2\right)[/dispmath]