Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI GEOMETRIJA

Duzina tetive – ETF 2008

[inlmath]\triangle ABC\sim\triangle A'B'C'[/inlmath]

Moderator: Corba248

Duzina tetive – ETF 2008

Postod Jocaynwa » Subota, 31. Maj 2014, 14:51

13. U krugu poluprecnika [inlmath]2\mbox{ cm}[/inlmath] duzina tetive kojoj odgovara periferijski ugao od [inlmath]15^\circ[/inlmath], iznosi (u [inlmath]\mbox{cm}[/inlmath]):
Resenje
[dispmath]\sqrt6-\sqrt2[/dispmath]
Ako je periferijski ugao [inlmath]15^\circ[/inlmath],znamo da njemu odgovara centralni ugao od [inlmath]30^\circ[/inlmath].
Sto znaci da imamo jednakokraki trougao,koji cine tetiva i poluprecnik.
Ako je centralni ugao [inlmath]30^\circ[/inlmath],povucemo visinu na tetivu,i dobijamo 2 ugla od [inlmath]15^\circ[/inlmath]...
[dispmath]\sin15^\circ =\frac{\mbox{naspramna kateta}}{\mbox{hipotenuza}}[/dispmath]
u ovom slucaju naspramnoj kateti odgovara polovina tetive,a hipotenuzi poluprecnik [inlmath]r[/inlmath]:
[dispmath]\sin15^\circ=\frac{\frac{t}{2}}{2}[/dispmath][dispmath]t=4\sin15^\circ[/dispmath]
Sinus [inlmath]15^\circ[/inlmath] se lako izracuna preko
[dispmath]\sin(45^\circ-30^\circ)=\cdots=\frac{\left(\sqrt6-\sqrt2\right)}{4}[/dispmath]
I dobije se tacno resenje...
Moje pitanje je gde gresim ako pokusam da uradim preko kosinusne teoreme?
[dispmath]t^2=2r^2-2r^2\cos30^\circ[/dispmath][dispmath]t^2=8-8\frac{\sqrt3}{2}[/dispmath][dispmath]t^2=8-4\sqrt3[/dispmath]
Sta god da radim sa ovim poslednjim redom ne mogu da dobijem tacno resenje ? :)
 
Postovi: 9
Zahvalio se: 9 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Duzina tetive – ETF 2008

Postod Daniel » Subota, 31. Maj 2014, 15:42

Pa, na dobrom si putu. :)
[dispmath]t^2=4\left(2-\sqrt3\right)[/dispmath][dispmath]t=2\sqrt{2-\sqrt3}[/dispmath]
Sada treba izraz [inlmath]2-\sqrt3[/inlmath] da predstavimo kao kvadrat nekog binoma, kako bismo, zatim, mogli da skratimo kvadrat i koren.
[dispmath]2-\sqrt3=\left(a+b\right)^2[/dispmath][dispmath]2-\sqrt3=a^2+b^2+2ab[/dispmath]
Pretpostavimo da su [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] koreni celih brojeva, tako da [inlmath]a^2+b^2[/inlmath] može biti samo ceo broj:
[dispmath]a^2+b^2=2\\
2ab=-\sqrt3[/dispmath][dispmath]\Rightarrow\quad b=-\frac{\sqrt3}{2a}[/dispmath][dispmath]a^2+\left(-\frac{\sqrt3}{2a}\right)^2=2[/dispmath][dispmath]\left.a^2+\frac{3}{4a^2}=2\quad\right/\cdot4a^2[/dispmath][dispmath]4\left(a^2\right)^2-8a^2+3=0[/dispmath][dispmath]\left(a^2\right)_{1,2}=\frac{2\pm1}{2}[/dispmath]
Svejedno je koju ćemo od ove dve vrednosti uzeti za [inlmath]a^2[/inlmath], jer, ako za [inlmath]a^2[/inlmath] uzmemo jednu vrednost, za [inlmath]b^2[/inlmath] ćemo kasnije dobiti tu drugu vrednost. Recimo da je [inlmath]a^2=\frac{1}{2}[/inlmath]:
[dispmath]a=\pm\frac{\sqrt2}{2}[/dispmath][dispmath]b=-\frac{\sqrt3}{2a}=-\frac{\sqrt3}{\cancel2\left(\pm\frac{\sqrt2}{\cancel2}\right)}=\mp\frac{\sqrt3}{\sqrt2}=\mp\frac{\sqrt6}{2}[/dispmath]
Ovaj znak [inlmath]\mp[/inlmath] znači to, da ako smo za [inlmath]a[/inlmath] uzeli [inlmath]+\frac{\sqrt2}{2}[/inlmath], tada za [inlmath]b[/inlmath] moramo uzeti [inlmath]-\frac{\sqrt6}{2}[/inlmath]. I obratno, ako smo za [inlmath]a[/inlmath] uzeli [inlmath]-\frac{\sqrt2}{2}[/inlmath], tada za [inlmath]b[/inlmath] moramo uzeti [inlmath]+\frac{\sqrt6}{2}[/inlmath]. Pošto će [inlmath]a+b[/inlmath] kasnije biti kvadrirano, potpuno je svejedno koji će od ta dva sabirka, [inlmath]a[/inlmath] ili [inlmath]b[/inlmath], biti s plusom, a koji s minusom. Bitno je samo to, da jedan od njih bude s plusom, a drugi s minusom.
Dakle, neka je
[dispmath]a=\frac{\sqrt2}{2},\;b=-\frac{\sqrt6}{2}[/dispmath]
Prema tome, [inlmath]2-\sqrt3[/inlmath] možemo napisati kao [inlmath]\left(\frac{\sqrt2}{2}-\frac{\sqrt6}{2}\right)^2[/inlmath], tj. kao [inlmath]\frac{1}{4}\left(\sqrt2-\sqrt6\right)^2[/inlmath].
Provera:
[dispmath]\frac{1}{4}\left(\sqrt2-\sqrt6\right)^2=\frac{1}{4}\left(2-2\sqrt2\sqrt6+6\right)=\frac{1}{4}\left(8-2\sqrt{12}\right)=\frac{1}{4}\left(8-2\cdot2\sqrt3\right)=2-\sqrt3[/dispmath]
I ostalo je još da odredimo dužinu tetive [inlmath]t[/inlmath]:
[dispmath]t=2\sqrt{2-\sqrt3}[/dispmath][dispmath]t=2\sqrt{\frac{1}{4}\left(\sqrt2-\sqrt6\right)^2}=\cancel2\cdot\frac{1}{\cancel2}\sqrt{\left(\sqrt2-\sqrt6\right)^2}=\sqrt{\left(\sqrt2-\sqrt6\right)^2}[/dispmath]
Kvadrat i koren, kad se krate, daju apsolutnu vrednost:
[dispmath]t=\left|\sqrt2-\sqrt6\right|[/dispmath][dispmath]\enclose{box}{t=\sqrt6-\sqrt2}[/dispmath]
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7756
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4075 puta
Pohvaljen: 4132 puta

Re: Duzina tetive – ETF 2008

Postod Jocaynwa » Subota, 31. Maj 2014, 16:04

Hvala puno!Ipak je jednostavniji prvi nacin,i cini mi se brzi :)
 
Postovi: 9
Zahvalio se: 9 puta
Pohvaljen: 0 puta

Re: Duzina tetive – ETF 2008

Postod Milovan » Subota, 31. Maj 2014, 20:32

Ako to dobiješ na prijemnom uz ponuđene odgovore možeš i preko kosinusne teoreme da radiš. Ne moraš se truditi da potkorenu veličnu prikažeš kao kvadrat, već jednostavno kvadriraj ponuđena rešenja i uporedi sa vrednošću [inlmath]t^2[/inlmath] koju si dobio.
Korisnikov avatar
Milovan  OFFLINE
 
Postovi: 568
Zahvalio se: 356 puta
Pohvaljen: 697 puta


Povratak na GEOMETRIJA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 25 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Nedelja, 17. Novembar 2019, 13:23 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs