Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA TEJLOROV RED

Odrediti konstante a, b i c

[inlmath]e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots[/inlmath]

Odrediti konstante a, b i c

Postod kristina97 » Petak, 01. Septembar 2017, 16:15

Dokazati da se funkcija [inlmath]y=\sqrt{x^2+1}-\ln\left(\frac{1-\sqrt{1+x^2}}{x}\right)[/inlmath] moze napisati u obliku [inlmath]y=ax+b+\frac{c}{x}+\sigma\left(\frac{1}{x}\right)[/inlmath] i odrediti konstante [inlmath]a[/inlmath], [inlmath]b[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath].
Ne znam kako bih pocela zadatak. Uspela sam razviti [inlmath]\sqrt{x^2+1}[/inlmath] do [inlmath]x^2[/inlmath], ali ne znam treba li mi do tog stepena, a sa [inlmath]\ln\left(\frac{1-\sqrt{1+x^2}}{x}\right)[/inlmath] imam problem jer pri uvrstavanju nule dobijem [inlmath]\ln\frac{0}{0}[/inlmath].
I ako imam ovaj clan [inlmath]ax[/inlmath], kako je ostatak [inlmath]\sigma\left(\frac{1}{x}\right)[/inlmath]? Zar ne bi on trebao biti istog ili veceg stepena?
 
Postovi: 4
Zahvalio se: 9 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Odrediti konstante a, b i c

Postod ubavic » Petak, 01. Septembar 2017, 18:16

kristina97 je napisao:Uspela sam razviti [inlmath]\sqrt{x^2+1}[/inlmath] do [inlmath]x^2[/inlmath]...

Ovde se vidi u čemu grešiš.
U ovom zadatku se traži da se odredi ponašanje funkcije [inlmath]f(x)=\sqrt{x^2+1}-\ln\left(\frac{1-\sqrt{1+x^2}}{x}\right)[/inlmath] u okolini [inlmath]-\infty[/inlmath] (to bi i trebalo da se navede negde u postavci). U okolini [inlmath]+\infty[/inlmath], [inlmath]f[/inlmath] nije definisana.
Da bi razvila u okolini [inlmath]-\infty[/inlmath], izraz [inlmath]\sqrt{x^2+1}[/inlmath] napiši kao [inlmath]-x\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}[/inlmath] a zatim primeni formulu za razvoj [inlmath](1+t)^\alpha[/inlmath] kad [inlmath]t\to0[/inlmath]. Isto to uradiš i za izraz pod logaritmom.

U ovakvim slučajevima kada se posmatra ponašanje funkcije u okolini [inlmath]\pm\infty[/inlmath], glavni članovi (članovi koji najviše utiču na vrednost) upravo su [inlmath]\dots x^3,x^2,x,1[/inlmath]. Članovi poput [inlmath]\frac{1}{x},\frac{1}{x^2},\frac{1}{x^3},\dots[/inlmath] teže nuli dok [inlmath]x[/inlmath] teži ka [inlmath]\pm\infty[/inlmath]. Međutim, većina "osnovnih" razvoja se tiče slučaja kad [inlmath]x[/inlmath] teži ka nuli, pa zbog toga moramo na neki način transformisati izraz u kom će biti zastupljeni članovi poput [inlmath]\frac{1}{x},\frac{1}{x^2},\frac{1}{x^3},\dots[/inlmath]
Korisnikov avatar
ubavic   ONLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 474
Lokacija: Zrenjanin
Zahvalio se: 320 puta
Pohvaljen: 453 puta

Re: Odrediti konstante a, b i c

Postod Trougao » Petak, 01. Septembar 2017, 21:11

Sad cu ja da malo prokomentarisem malo radjenje ovakvog tipa zadataka.
Na fakultetima obicno ljude uce da razvijaju funkcije ko tu [inlmath]\sqrt{1+x^2}[/inlmath] do 3-4-5 stepena, a ovakvi zadaci imaju po 2-3-4 relativno komplikovane funkcije u sebi i naravno sve to vodi u jedan haos gresaka da li je plus ili minus, skidanja poena itd.
Evo mudrijeg nacina da se resi ovakav zadatak.
Prvo krecemo od
[dispmath]y=ax+b+\frac{c}{x}+o\left(\frac{1}{x}\right)[/dispmath] Podelimo celu jednacinu sa [inlmath]x[/inlmath] i dobijemo
[dispmath]\frac{y}{x}=a+\frac{b}{x}+\frac{c}{x^2}+o\left(\frac{1}{x^2}\right)[/dispmath] Sada kako [inlmath]x[/inlmath] tezi beskonacno (u ovom slucaju minus beskonacno) dobijamo koliko je koeficijent [inlmath]a[/inlmath] a ostali clanovi teze nuli.
Sada da bismo dobili [inlmath]b[/inlmath] prebacimo [inlmath]ax[/inlmath] na drugu stranu
[dispmath]y-ax=b+\frac{c}{x}+o\left(\frac{1}{x}\right)[/dispmath] I sada kada [inlmath]x[/inlmath] tezi beskonacno dobijamo koliko je [inlmath]b[/inlmath] ([inlmath]a[/inlmath] smo vec izracunali).
I na kraju da bismo dobili [inlmath]c[/inlmath] trazimo sledeci limes
[dispmath]yx-ax^2-bx=c+o(1)[/dispmath] Treba primetiti da smo ovde [inlmath]a,b[/inlmath] trazili kao kad trazimo asimptote funkcije, na ovaj nacin bismo mogli traziti i "parabolicke" asimptote. Trazili bismo sledeci limes [inlmath]y-ax^2-bx-c=o(1)[/inlmath] (ovde uz [inlmath]y[/inlmath] nemamo [inlmath]x[/inlmath]) tj. koeficijente [inlmath]a,b,c[/inlmath] takve da ta jednakost vazi. Naravno i za gornje asimptotske razvoje i ove "asimptote" mozemo ponavljati proces i ici do viseg stepena.

Evo gornjeg primera uradjenog:
[dispmath]a=\lim_{x\to-\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to-\infty}\frac{\sqrt{x^2+1}-\ln\left(\frac{1-\sqrt{x^2+1}}{x}\right)}{x}=-1\\
b=\lim_{x\to-\infty}\sqrt{x^2+1}-\ln\left(\frac{1-\sqrt{x^2+1}}{x}\right)+x=0\\
c=\lim_{x\to-\infty}x\left(\sqrt{x^2+1}-\ln\left(\frac{1-\sqrt{x^2+1}}{x}\right)\right)+x^2=?[/dispmath] Sad se samo treba izboriti sa ovim poslednjim limesom da bismo resili zadatak. Po meni je pametnije ovde koristiti Tejlorov razvoj da bi se nasao rezultat nego odmah traziti asimptotski razvoj onako kako se to standardno radi.
[dispmath]\lim_{x\to-\infty}\left[\left(x\sqrt{x^2+1}-x\ln\left(\frac{1-\sqrt{x^2+1}}{x}\right)\right)+x^2\right][/dispmath] Ovaj deo se moze raditi sa razvojima, lopitalom itd.
Trougao  OFFLINE
 
Postovi: 148
Zahvalio se: 57 puta
Pohvaljen: 104 puta

Re: Odrediti konstante a, b i c

Postod Daniel » Subota, 02. Septembar 2017, 14:30

Trougao je napisao:[dispmath]\lim_{x\to-\infty}\left[\left(x\sqrt{x^2+1}-x\ln\left(\frac{1-\sqrt{x^2+1}}{x}\right)\right)+x^2\right][/dispmath] Ovaj deo se moze raditi sa razvojima, lopitalom itd.

Haj'mo i to da završimo, kad je već urađeno više od pola. Ovde bi bilo zgodnije posebno računati limes za sabirak s logaritmom, a posebno za ovo što preostaje, pa onda tako i grupišimo sabirke:
[dispmath]\lim_{x\to-\infty}\left[x\left(\sqrt{x^2+1}+x\right)-\ln\left(\frac{1-\sqrt{x^2+1}}{x}\right)^x\right][/dispmath] Naravno, ovde sam ono [inlmath]x[/inlmath] ispred logaritma već popeo u eksponent, da ne bih previše ispisivao nepotrebne korake. Prvo izračunavamo limes za prvi sabirak, pri čemu će biti upotrebljena formula [inlmath]a-b=\frac{a^2-b^2}{a+b}[/inlmath], inače često korišćena u računanjima limesa ovog tipa:
[dispmath]\lim_{x\to-\infty}x\left(\sqrt{x^2+1}+x\right)=\lim_{x\to-\infty}x\left(\sqrt{x^2+1}-|x|\right)=\lim_{x\to-\infty}x\frac{\cancel{x^2}+1-\cancel{x^2}}{\sqrt{x^2+1}+|x|}=-\frac{1}{2}[/dispmath] Zatim računamo limes izraza koji se nalazi unutar logaritma, pri čemu taj izraz prvo transformišemo u pogodan oblik:
[dispmath]\left(\frac{1-\sqrt{x^2+1}}{x}\right)^x=\left(\frac{\sqrt{x^2+1}-1}{|x|}\right)^x=\left(\frac{\sqrt{x^2+1}-1}{\sqrt{x^2+1}}\right)^x\left(\frac{\sqrt{x^2+1}}{|x|}\right)^x=\\
=\left(1-\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\right)^x\left(\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}\right)^x=\left[\left(1-\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\right)^{\sqrt{x^2+1}}\right]^{\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}\left[\left(1+\frac{1}{x^2}\right)^{x^2}\right]^{\frac{x/2}{x^2}}[/dispmath] Prvi član će, za [inlmath]x\to-\infty[/inlmath], težiti [inlmath]\left(e^{-1}\right)^{-1}[/inlmath], tj. ka [inlmath]e[/inlmath], dok će drugi član težiti [inlmath]e^0[/inlmath], tj. ka [inlmath]1[/inlmath]. Njihov proizvod, dakle, teži ka [inlmath]e[/inlmath]. Pošto je u pitanju izraz unutar logaritma, sâm logaritam će težiti jedinici.
Prema tome, izraz čiji se limes traži jednak je [inlmath]-\frac{1}{2}-1=-\frac{3}{2}[/inlmath], i to će biti vrednost konstante [inlmath]c[/inlmath].



Iako je Trouglov način prilično interesantan, nisam ipak siguran koliko je u ovom konkretnom zadatku i jednostavniji, upravo zbog malo većeg posla oko računanja tog poslednjeg limesa. Lično bih se ovde, možda, ipak opredelio za „standardniji“ način koji je pokazao Ubavic, s tim da, ako nekog zbunjuje taj razvoj u [inlmath]-\infty[/inlmath], možda će mu biti lakše da smenu [inlmath]\frac{1}{x}=t[/inlmath] uvede odmah u startu i da je uvrsti u zadati izraz. Tada će i [inlmath]\sigma\left(\frac{1}{x}\right)[/inlmath] postati [inlmath]\sigma(t)[/inlmath], a [inlmath]t[/inlmath] će biti u okolini nule (tačnije, u okolini „negativne nule“, o čemu takođe treba voditi računa – a ako nekog i to zbunjuje, onda umesto [inlmath]\frac{1}{x}=t[/inlmath] može i smena [inlmath]-\frac{1}{x}=t[/inlmath]).
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 6663
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3481 puta
Pohvaljen: 3675 puta

Re: Odrediti konstante a, b i c

Postod Trougao » Subota, 02. Septembar 2017, 20:40

Naravno da ovaj nacin nije bas najsrecniji za svaku situaciju. Ovaj poslednji limes se moze resiti i "lakse" (zavisi kako ko to definise):
[dispmath]\lim_{x\to-\infty}-x\ln\Bigg(\frac{1-\sqrt{x^2+1}}{x}\Bigg)[/dispmath] prvo uvedemo smenu [inlmath](x=-t)[/inlmath] (odmah se vratimo na [inlmath]x[/inlmath]) i onda primenjujemo lopitala
[dispmath]\lim_{x\to\infty}\frac{\ln\Big(\frac{\sqrt{x^2+1}-1}{x}\Big)}{\frac{1}{x}}=\lim_{x\to\infty}\frac{\ln'\Big(\frac{\sqrt{x^2+1}-1}{x}\Big)}{\left(\frac{1}{x}\right)'}=\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{\frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}}-\left(\sqrt{x^2+1}-1\right)}{x^2}}{-\frac{1}{x^2}}\frac{x}{\sqrt{x^2+1}-1}=\\
-\lim_{x\to\infty}\Bigg(\frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}}-\left(\sqrt{x^2+1}-1\right)\Bigg)\frac{x}{\sqrt{x^2+1}-1}=-\lim_{x\to\infty}\Bigg(\frac{x^3}{x^2+1-\sqrt{x^2+1}}-x\Bigg)=\\
-\lim_{x\to\infty}\frac{x^3-x^3-x+x\sqrt{x^2+1}}{x^2+1-\sqrt{x^2+1}}=-\lim_{x\to\infty}\frac{-x+x\sqrt{x^2+1}}{x^2+1-\sqrt{x^2+1}}=-1[/dispmath] Moja poenta je da se razvoji skoro uvek mogu zaobici uz dovoljno domisljatosti. Ja licno zagovaram doktrinu da ih treba izbegavati i koristiti ih samo kao poslednju meru (osim ukoliko problem nije bas toliko laksi da se resi uz njih). Jedini razlog zasto bih to radio je sto se i dalje posle 2 polozene analize na matfu ne bih usudio da razvijam [inlmath]-x\ln\left(\frac{1-\sqrt{x^2+1}}{x}\right)[/inlmath]. Sto puta da tako radim ovaj zadatak na taj nacin pogresio bih. :mrgreen: Ali nije to samo meni problem vec i vecini mojih kolega i gomila ljudi tu puca.
Trougao  OFFLINE
 
Postovi: 148
Zahvalio se: 57 puta
Pohvaljen: 104 puta

Re: Odrediti konstante a, b i c

Postod Daniel » Nedelja, 03. Septembar 2017, 21:21

Ma, mislim da si nepotrebno napravio bauka od tog razvoja. :) Pogotovo ovde razvoj ne bi trebalo da bude nikakav problem, jer se razvija samo do [inlmath]t^1[/inlmath], budući da nam je Peanov ostatak [inlmath]\sigma(t)[/inlmath] (nakon smene [inlmath]y=-\frac{1}{x}[/inlmath]).

Ajd časkom da uradimo i tako. S pomenutom smenom, zadati izraz postaje [inlmath]y=\frac{1}{t}\sqrt{1+t^2}-\ln\left(\sqrt{1+t^2}-t\right)[/inlmath], a treba ga napisati u obliku [inlmath]y=-\frac{a}{t}+b-ct+\sigma\left(t\right)[/inlmath].

U prvom sabirku [inlmath]\sqrt{1+t^2}[/inlmath] razvijamo do [inlmath]t^2[/inlmath], jer se posle to deli sa [inlmath]t[/inlmath], nakon čega će to postati razvoj do [inlmath]t^1[/inlmath]:
[dispmath]\sqrt{1+t^2}=\left(1+t^2\right)^{1/2}=1+\frac{1}{2}t^2+\sigma\left(t^2\right)[/dispmath] Kad je u pitanju [inlmath]\sqrt{1+t^2}[/inlmath] koji se nalazi unutar logaritma, njega ne moramo dalje od [inlmath]t^1[/inlmath], jer se nakon razvoja samog logaritma neće smanjivati stepeni u dotadašnjem razvoju. Znači:
[dispmath]\ln\left(\sqrt{1+t^2}-t\right)=\ln\bigl(1+\sigma(t)-t\bigr)=-t+\sigma(t)[/dispmath] I, ceo zadati izraz postaje:
[dispmath]\begin{align}
y&=\frac{1}{t}\sqrt{1+t^2}-\ln\left(\sqrt{1+t^2}-t\right)\\
&=\frac{1}{t}\left(1+\frac{1}{2}t^2+\sigma\left(t^2\right)\right)-\bigl(-t+\sigma(t)\bigr)\\
&=\frac{1}{t}+\frac{1}{2}t+t+\sigma(t)\\
&=\frac{1}{t}+\frac{3}{2}t+\sigma(t)
\end{align}[/dispmath] odakle se, upoređivanjem s [inlmath]y=-\frac{a}{t}+b-ct+\sigma\left(t\right)[/inlmath], lako odrede [inlmath]a[/inlmath], [inlmath]b[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath].

Trougao je napisao:Jedini razlog zasto bih to radio je sto se i dalje posle 2 polozene analize na matfu ne bih usudio da razvijam [inlmath]-x\ln\left(\frac{1-\sqrt{x^2+1}}{x}\right)[/inlmath].

Zavisi do kog stepena ga razvijaš. Ako radimo razvoj samo za potrebe računanja limesa, kao što je ovde slučaj, onda je taj postupak čak i jednostavniji od svođenja na [inlmath]e[/inlmath] (način koji sam ja pokazao) ili preko Lopitala (način koji si ti pokazao).
[dispmath]\lim_{x\to-\infty}\left[-x\ln\left(\frac{1-\sqrt{x^2+1}}{x}\right)\right]\overset{-\frac{1}{x}=t}{=\!=\!=\!=\!=}\lim_{t\to0^+}\left[\frac{1}{t}\ln\left(\sqrt{1+t^2}-t\right)\right]=[/dispmath] Ovaj logaritam sigurno nema potrebe razvijati do [inlmath]t^2[/inlmath], jer će [inlmath]t^2[/inlmath], [inlmath]t^3[/inlmath], [inlmath]t^4[/inlmath] i viši stepeni, nakon množenja sa [inlmath]\frac{1}{t}[/inlmath] ispred logaritma, dati [inlmath]t[/inlmath], [inlmath]t^2[/inlmath], [inlmath]t^3[/inlmath] itd. koji svi teže nuli. Znači, dovoljno je razviti samo do [inlmath]t[/inlmath].
[dispmath]=\lim_{t\to0^+}\left[\frac{1}{t}\ln\bigl(1+\sigma(t)-t\bigr)\right]=\lim_{t\to0^+}\left[\frac{1}{t}\bigl(-t+\sigma(t)\bigr)\right]=-1[/dispmath] Eto, sasvim jednostavno.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 6663
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3481 puta
Pohvaljen: 3675 puta


Povratak na TEJLOROV RED

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 2 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Sreda, 22. Novembar 2017, 22:44 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs