Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA TEJLOROV RED

MekLorenove formule za sin(x) i cos(x)

[inlmath]e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots[/inlmath]

MekLorenove formule za sin(x) i cos(x)

Postod Gogele » Utorak, 21. Februar 2017, 10:30

D.Adnađević, Z.Kadelburg: Matematička analiza I , Primer 6.7.1.2°

U ovom primeru su date sledeće MekLorenove formule za funkcije [inlmath]\sin x[/inlmath] i [inlmath]\cos x[/inlmath]:
[dispmath]\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots+(-1)^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}+R_{2n}(x),\\
\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots+(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+R_{2n+1}(x).[/dispmath] S obzirom da je MekLorenova formula [inlmath]f(x)=f(0)+f^{(1)}(0)x+\frac{f^{(2)}(0)}{2!}x^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+R_n(x)[/inlmath], ne razumem kako se došlo do ostataka [inlmath]R_{2n}(x)[/inlmath] i [inlmath]R_{2n+1}(x)[/inlmath]. Zbog čega su ti brojevi u indeksima ostataka?
Gogele  OFFLINE
 
Postovi: 117
Zahvalio se: 35 puta
Pohvaljen: 26 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: MekLorenove formule za sin(x) i cos(x)

Postod miletrans » Utorak, 21. Februar 2017, 11:19

Ovde mislim da je više razlika do oznaka nego do same suštine ostatka Maklorenovog reda. Kad razvijaš neku funkciju u Maklorena ostatak obeležavaš sa [inlmath]R_n[/inlmath] (u moje vreme je bilo [inlmath]\sigma_n[/inlmath], ali to ne menja stvar). U tom ostatku ti figuriše [inlmath](n+1)[/inlmath]-vi izvod funkcije, odnosno, za jedan viši izvod od izvoda koji imaš u poslednjem članu. Dakle, ako razvijaš recimo [inlmath]\sin x[/inlmath] do sedmog izvoda, u ostatku će ti se pojaviti osmi (to bi bio ovaj tvoj slučaj za [inlmath]n=3[/inlmath]).

P.S. Mislim da je ova tema pre za potforum "Tejlorov red".
Globalni moderator
 
Postovi: 214
Zahvalio se: 22 puta
Pohvaljen: 234 puta

Re: MekLorenove formule za sin(x) i cos(x)

Postod Gogele » Utorak, 21. Februar 2017, 12:39

miletrans je napisao:Ovde mislim da je više razlika do oznaka nego do same suštine ostatka Maklorenovog reda. Kad razvijaš neku funkciju u Maklorena ostatak obeležavaš sa [inlmath]R_n[/inlmath] (u moje vreme je bilo [inlmath]\sigma_n[/inlmath], ali to ne menja stvar). U tom ostatku ti figuriše [inlmath](n+1)[/inlmath]-vi izvod funkcije, odnosno, za jedan viši izvod od izvoda koji imaš u poslednjem članu.

U ovom primeru se funkcije razvijaju do [inlmath]n[/inlmath]-tog reda. Kako se dobija da su zadnji članovi u razvoju [inlmath](-1)^{n-1}\frac{x^{2n -1}}{(2n-1)!}[/inlmath] i [inlmath](-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}[/inlmath] zar onda ne bi trebalo da ostaci budu obeleženi sa [inlmath]R_{2n-1}(x)[/inlmath] i [inlmath]R_{2n}(x)[/inlmath], kako bi u njima bio sledeći izvod?

miletrans je napisao:P.S. Mislim da je ova tema pre za potforum "Tejlorov red".

U pravu si. Moderatori, slobodno prebacite ovu temu u podforum "Tejlorov red"!
Gogele  OFFLINE
 
Postovi: 117
Zahvalio se: 35 puta
Pohvaljen: 26 puta

Re: MekLorenove formule za sin(x) i cos(x)

Postod Onomatopeja » Utorak, 21. Februar 2017, 13:02

Ti ostaci koje si predlozio (u svom drugom postu) nisu netacni, ali ovi koji su dati su precizniji. Naime, primeti kako se recimo za sinus uvek preskacu parni stepeni (jer njih i nema), pa bi prvi stepen posle [inlmath]x^{2n-1}[/inlmath] bio upravo [inlmath]x^{2n+1}[/inlmath], sto pripada gresci (ostatku) [inlmath]R_{2n}(x)[/inlmath]. Slicno za kosinus.
 
Postovi: 588
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 555 puta

Re: MekLorenove formule za sin(x) i cos(x)

Postod Gogele » Utorak, 21. Februar 2017, 13:13

Sad mi je jasno.
Gogele  OFFLINE
 
Postovi: 117
Zahvalio se: 35 puta
Pohvaljen: 26 puta


Povratak na TEJLOROV RED

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 2 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 15. Novembar 2018, 20:35 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs