Stranica 1 od 1

MekLorenove formule za sin(x) i cos(x)

PostPoslato: Utorak, 21. Februar 2017, 10:30
od Gogele
D.Adnađević, Z.Kadelburg: Matematička analiza I , Primer 6.7.1.2°

U ovom primeru su date sledeće MekLorenove formule za funkcije [inlmath]\sin x[/inlmath] i [inlmath]\cos x[/inlmath]:
[dispmath]\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots+(-1)^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}+R_{2n}(x),\\
\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots+(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+R_{2n+1}(x).[/dispmath] S obzirom da je MekLorenova formula [inlmath]f(x)=f(0)+f^{(1)}(0)x+\frac{f^{(2)}(0)}{2!}x^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+R_n(x)[/inlmath], ne razumem kako se došlo do ostataka [inlmath]R_{2n}(x)[/inlmath] i [inlmath]R_{2n+1}(x)[/inlmath]. Zbog čega su ti brojevi u indeksima ostataka?

Re: MekLorenove formule za sin(x) i cos(x)

PostPoslato: Utorak, 21. Februar 2017, 11:19
od miletrans
Ovde mislim da je više razlika do oznaka nego do same suštine ostatka Maklorenovog reda. Kad razvijaš neku funkciju u Maklorena ostatak obeležavaš sa [inlmath]R_n[/inlmath] (u moje vreme je bilo [inlmath]\sigma_n[/inlmath], ali to ne menja stvar). U tom ostatku ti figuriše [inlmath](n+1)[/inlmath]-vi izvod funkcije, odnosno, za jedan viši izvod od izvoda koji imaš u poslednjem članu. Dakle, ako razvijaš recimo [inlmath]\sin x[/inlmath] do sedmog izvoda, u ostatku će ti se pojaviti osmi (to bi bio ovaj tvoj slučaj za [inlmath]n=3[/inlmath]).

P.S. Mislim da je ova tema pre za potforum "Tejlorov red".

Re: MekLorenove formule za sin(x) i cos(x)

PostPoslato: Utorak, 21. Februar 2017, 12:39
od Gogele
miletrans je napisao:Ovde mislim da je više razlika do oznaka nego do same suštine ostatka Maklorenovog reda. Kad razvijaš neku funkciju u Maklorena ostatak obeležavaš sa [inlmath]R_n[/inlmath] (u moje vreme je bilo [inlmath]\sigma_n[/inlmath], ali to ne menja stvar). U tom ostatku ti figuriše [inlmath](n+1)[/inlmath]-vi izvod funkcije, odnosno, za jedan viši izvod od izvoda koji imaš u poslednjem članu.

U ovom primeru se funkcije razvijaju do [inlmath]n[/inlmath]-tog reda. Kako se dobija da su zadnji članovi u razvoju [inlmath](-1)^{n-1}\frac{x^{2n -1}}{(2n-1)!}[/inlmath] i [inlmath](-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}[/inlmath] zar onda ne bi trebalo da ostaci budu obeleženi sa [inlmath]R_{2n-1}(x)[/inlmath] i [inlmath]R_{2n}(x)[/inlmath], kako bi u njima bio sledeći izvod?

miletrans je napisao:P.S. Mislim da je ova tema pre za potforum "Tejlorov red".

U pravu si. Moderatori, slobodno prebacite ovu temu u podforum "Tejlorov red"!

Re: MekLorenove formule za sin(x) i cos(x)

PostPoslato: Utorak, 21. Februar 2017, 13:02
od Onomatopeja
Ti ostaci koje si predlozio (u svom drugom postu) nisu netacni, ali ovi koji su dati su precizniji. Naime, primeti kako se recimo za sinus uvek preskacu parni stepeni (jer njih i nema), pa bi prvi stepen posle [inlmath]x^{2n-1}[/inlmath] bio upravo [inlmath]x^{2n+1}[/inlmath], sto pripada gresci (ostatku) [inlmath]R_{2n}(x)[/inlmath]. Slicno za kosinus.

Re: MekLorenove formule za sin(x) i cos(x)

PostPoslato: Utorak, 21. Februar 2017, 13:13
od Gogele
Sad mi je jasno.