Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA TEJLOROV RED

Tejlorova formula za drugi izvod i n>2

[inlmath]e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots[/inlmath]

Tejlorova formula za drugi izvod i n>2

Postod Gogele » Sreda, 22. Februar 2017, 13:00

Imam problem u dokazivanju sledećeg stava (D.Adnađević, Z.kadelburg, Matematička analiza I, stav 6.8.9):

Neka je funkcija [inlmath]f[/inlmath] zajedno sa prvih [inlmath]n[/inlmath] izvoda neprekidna u nekoj okolini tačke [inlmath]x_0[/inlmath] i u toj okolini postoji [inlmath]f^{(n + 1)}(x)[/inlmath]. neka je pri tome
[dispmath]f''(x_0) = \cdot \cdot \cdot = f^{(n)}(x_0) = 0,\, f^{(n + 1)}(x_0) \ne 0.[/dispmath]
Ako je [inlmath]n[/inlmath] paran broj, onda je [inlmath](x_0, f(x_0))[/inlmath] prevojna tačka krive [inlmath]y = f(x)[/inlmath].

Dokaz se izvodi uz pretpostavku da je [inlmath]f^{(n +1)}(x_0) < 0[/inlmath] (za suprotnu pretpostavku dokaz je analogan, ali ja ni ovaj slučaj nisam završio). Odavde se dobija da je:
[dispmath]f^{(n + 1)}(x_0) = \lim\limits_{x\to x_0} \frac{f^{(n)}(x) - f^{(n)}(x_0)}{x - x_0} = \lim\limits_{x\to x_0} \frac{f^{(n)}(x)}{x - x_0}[/dispmath]
Tada je i i izraz [inlmath]\frac{f^{(n)}(x)}{x - x_0}[/inlmath] negativan, samo ako je [inlmath]x[/inlmath] dovoljno blizu [inlmath]x_0[/inlmath], ali različito od nje. Drugim rečima, za neku okolinu [inlmath]U(x_0)[/inlmath], važi [inlmath]f^{(n)}(x) > 0[/inlmath] za [inlmath]x \in U[/inlmath] i [inlmath]x > x_0[/inlmath], odnosno [inlmath]f^{(n)}(x) < 0[/inlmath] za [inlmath]x \in U[/inlmath] i [inlmath]x > x_0[/inlmath].

Zatim se u dokazu uzima da je [inlmath]n > 2[/inlmath] i treba napisati Tejlorovu formulu za funkciju [inlmath]f''(x)[/inlmath] u tački [inlmath]x_0[/inlmath], sa ostatkom u Lagranžovom obliku. Dobijena je sledeća formula:
[dispmath]f''(x) = \frac{f^{(n)}(c)}{(n - 2)!}(x - x_0)^{(n - 2)},\, x \in U,\, c \in (x_0, x).[/dispmath]

Za ovu formulu ne mogu da shvatim kako je dobijena. Zbog čega se uzima [inlmath]c[/inlmath], ako se treba dobiti formula funkcije u tački [inlmath]x_0[/inlmath]? Ja sam dobio sledeću formulu:
[dispmath]f'(x) = f''(x_0) + \frac{(f''(x_0))'}{1!}(x - x_0) + \frac{(f''(x_0))''}{2!}(x - x_0)^2 + \cdot\cdot\cdot + \frac{(f''(x_0))^{(n - 2)}}{(n - 2)!}(x - x_0)^{n - 2} + \frac{(f''(x_0))^{(n - 1)}}{(n - 1)!}(x - x_0)^{n - 1} + \frac{(f''(x_0))^{(n)}}{n!}(x - x_0)^n + \frac{(x - x_0)^{n + 1}}{(n + 1)!}(f''(x_0 + \theta(x - x_0))^{(n + 1)} = \frac{f^{(n + 1)}(x_0)}{(n - 1)!}(x -x_0)^{n - 1} + \frac{f^{(n + 2)}(x_0)}{n!}(x -x_0)^n + \frac{(x - x_0)^{n + 1}}{(n + 1)!}f^{(n + 3)}(x_0 + \theta(x - x_0)).[/dispmath]

Nije definisano da li postoje [inlmath]n + 2[/inlmath] -i i [inlmath]n + 3[/inlmath] -i izvod u [inlmath]U(x_o)[/inlmath]. Da li su oni jednaki nuli? Molim vas, možete li mi reći gde sam pogrešio?
Gogele  OFFLINE
 
Postovi: 117
Zahvalio se: 35 puta
Pohvaljen: 26 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Tejlorova formula za drugi izvod i n>2

Postod Onomatopeja » Sreda, 22. Februar 2017, 17:59

Gogele je napisao:Drugim rečima, za neku okolinu [inlmath]U(x_0)[/inlmath], važi [inlmath]f^{(n)}(x) > 0[/inlmath] za [inlmath]x \in U[/inlmath] i [inlmath]x > x_0[/inlmath], odnosno [inlmath]f^{(n)}(x) < 0[/inlmath] za [inlmath]x \in U[/inlmath] i [inlmath]x > x_0[/inlmath].

Ovde gde je boldirano verujem da pise [inlmath]x<x_0[/inlmath] umesto toga sto si ti stavio.

Ako je tako (a jeste), onda verujem da ti je mali problem bilo da pokazes taj deo. Za pocetak, neka je [inlmath]\displaystyle \lim_{x \to x_0} \frac{f^{(n)}(x)}{x-x_0} = M < 0[/inlmath]. Tada ako zapises po definiciji sta taj limes predstavlja videces da mozes odabrati dovoljno malo [inlmath]\varepsilon[/inlmath] tako da postoji [inlmath]\delta >0[/inlmath] takvo da za sve [inlmath]x \in (x_0 - \delta,x_0 + \delta) \setminus \{x_0\} = (x_0 - \delta,x_0) \cup (x_0,x_0 + \delta)[/inlmath] (sto mozemo obeleziti i sa [inlmath]x \in \overset{\circ}{U}(x_0)[/inlmath] ako zelis kao po Adnadjevicu & Kadelburgu ) vazi [inlmath]\displaystyle \frac{f^{(n)}(x)}{x-x_0} < 0[/inlmath]. Sad za [inlmath]x \in (x_0-\delta,x_0)[/inlmath] imas da je [inlmath]x-x_0 < 0[/inlmath], pa iz prethodnog mora biti [inlmath]f^{(n)}(x)>0[/inlmath] i slicno ako [inlmath]x \in (x_0,x_0+\delta)[/inlmath].

Tacka [inlmath]c[/inlmath] je zapravo ovo tvoje [inlmath]x_0 + \theta (x-x_0)[/inlmath], za neko [inlmath]0<\theta<1[/inlmath], jer je [inlmath](x_0,x) = \{ x_0 + \theta (x-x_0) \mid 0<\theta<1\}[/inlmath]. I ovaj izraz za drugi izvod se zaista dobija primenom Tejlorove formule u Lagranzovom obliku, s tim da je potrebno da se ranije stane (za razliku od tebe) sa poboljsavanjem stepena aproksimacije (da se tako izrazim). Ja bih samo odvojio slucaj kad imamo interval oblika [inlmath](x,x_0)[/inlmath] i kada imamo [inlmath](x_0,x)[/inlmath] (tj. kad je [inlmath]x<x_0[/inlmath] i kad je [inlmath]x>x_0[/inlmath]). I ne samo to, izabrao bih takvo [inlmath]\varepsilon[/inlmath] (dovoljno malo) da kad nalazimo [inlmath]U(x_0)[/inlmath] da imamo datu neprekidnost i egzistenciju izvodnih funkcija na toj okolini (al to ako cemo bas strogo formalno, ovako se vidi na sta se tacno misli).

Da li vidis zbog cega nam je ovde bila bitna parnost od [inlmath]n[/inlmath]?
 
Postovi: 613
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 588 puta

Re: Tejlorova formula za drugi izvod i n>2

Postod Gogele » Sreda, 22. Februar 2017, 23:35

Onomatopeja je napisao:
Gogele je napisao:Drugim rečima, za neku okolinu [inlmath]U(x_0)[/inlmath], važi [inlmath]f^{(n)}(x) > 0[/inlmath] za [inlmath]x \in U[/inlmath] i [inlmath]x > x_0[/inlmath], odnosno [inlmath]f^{(n)}(x) < 0[/inlmath] za [inlmath]x \in U[/inlmath] i [inlmath]x > x_0[/inlmath].

Ovde gde je boldirano verujem da pise [inlmath]x<x_0[/inlmath] umesto toga sto si ti stavio.


Tačno, ja sam pogrešio u prepisivanju.

Da li je ovo tačan dokaz za tu tvrdnju:

Neka je [inlmath]\lim\limits_{x\to x_0} \frac{f^{(n)}(x)}{x - x_0} = M < 0[/inlmath]. Pošto je [inlmath]f^{(n + 1)}[/inlmath] neprekidna u [inlmath]x_0[/inlmath], sledi da je ograničen na nekoj [inlmath]U(x_0)[/inlmath]. Odatle sledi da je [inlmath]M[/inlmath] konačan broj. Prema definiciji granične vrednosti sada važi:
[dispmath]\left(\forall \epsilon > 0\right) \left(\exists \delta > 0\right) \left(\forall x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta)\right) \Rightarrow \left|\frac{f^{(n)}(x)}{x - x_0} - M\right| < \epsilon.[/dispmath]
Odavde sledi da postoji [inlmath]\epsilon[/inlmath] takvo da postoji okolina [inlmath](x_0 - \delta', x_0 + \delta')[/inlmath], za koju je [inlmath]\frac{f^{(n)}(x)}{x - x_0} < 0[/inlmath] (Pretpostavljam da postoje takve negativne vrednosti ovog razlomka zbog kojih bi gorepomenuta apsolutna vrednost bila manja od [inlmath]\epsilon[/inlmath]). Odatle se dobija da, ako je [inlmath]f^{(n)}(x) > 0[/inlmath] onda je [inlmath]x < x_0[/inlmath] i obratno.
Gogele  OFFLINE
 
Postovi: 117
Zahvalio se: 35 puta
Pohvaljen: 26 puta

Re: Tejlorova formula za drugi izvod i n>2

Postod Gogele » Četvrtak, 23. Februar 2017, 00:40

Evo dokle sam došao sa Tejlorovom formulom za [inlmath]f''(x)[/inlmath]:

Neka je [inlmath]n > 2[/inlmath]. Možemo posmatrati dva slučaja, [inlmath]x > x_0[/inlmath] i [inlmath]x < x_0[/inlmath]. Primetimo da na osnovu pretpostavki stava za funkciju [inlmath]f''(x)[/inlmath] važi da je neprekidna sa svim svojim izvodima do [inlmath]n-2[/inlmath]-og reda zaključno u nekoj [inlmath]U(x_0)[/inlmath] i da postoji izvod [inlmath]n-1[/inlmath]-og reda u toj okolini (jer je [inlmath]f^{(n + 1)}[/inlmath] ograničena na toj okolini).

Prvi slučaj, [inlmath]x > x_0[/inlmath]:
[dispmath]f''(x) = f''(x_0) + \frac{(f''(x_0))'}{1!}(x - x_0) + \frac{(f''(x_0))''}{2!}(x - x_0)^2 + \cdot\cdot\cdot + \frac{(f''(x_0))^{(n - 2)}}{(n - 2)!}(x - x_0)^{n - 2} + \left(\frac{x - x_0}{x - \xi}\right)^p \frac{(x - \xi)^{n - 2 +1}}{p(n-2)!} f^{(n - 2 + 1)}(\xi) =[/dispmath]
[dispmath]= 0 + 0 + 0 + \cdot\cdot\cdot + 0 +\left(\frac{x - x_0}{x - \xi}\right)^p \frac{(x - \xi)^{n - 1}}{p(n-2)!} f^{(n - 1)}(\xi)[/dispmath]

Zbog toga što se pojavljuje [inlmath]n - 1[/inlmath] ima smisla ostatak predstaviti u Lagranžovom obliku, pa se dobija da je [inlmath]p = n - 2 + 1 = n -1,\, \xi = x_0 + \theta(x - x_0)\,(0 < \theta < 1)[/inlmath]. Odatle sledi da je:
[dispmath]f''(x) = \left(\frac{x - x_0}{x - \xi}\right)^{n -1} \frac{(x- \xi)^{n - 1}}{(n -1)(n-2)!} f^{(n - 1)}(\xi) = \frac{(x - x_0)^{n - 1}}{(n -1)!}f^{(n - 1)}(\xi).[/dispmath]

Opet nisam dobio [inlmath]f''(x) = \frac{f^{(n)}(c)}{(n - 2)!}(x - x_0)^{(n - 2)},\, x \in U,\, c \in (x_0, x)[/inlmath]. Gde sada grešim?

Onomatopeja je napisao:Da li vidis zbog cega nam je ovde bila bitna parnost od [inlmath]n[/inlmath]?


Parnost broja [inlmath]n[/inlmath] će usloviti različitu konveksnost sa obe strane tačke [inlmath]x_0[/inlmath], pa će tačka biti prevojna tačka grafika funkcije [inlmath]f[/inlmath].
Gogele  OFFLINE
 
Postovi: 117
Zahvalio se: 35 puta
Pohvaljen: 26 puta

Re: Tejlorova formula za drugi izvod i n>2

Postod Onomatopeja » Nedelja, 26. Februar 2017, 10:54

Ponovo, ne vidim razlog da ides do [inlmath]n-1[/inlmath] kad su oni lepo isli od [inlmath]n-2[/inlmath]. Postoji i razlog za to, a on je zapravo taj jer zele da je [inlmath]n-2[/inlmath] parno pa [inlmath](x-x_0)^{n-2}[/inlmath] nece uticati na znak od [inlmath]f''(x)[/inlmath]. Ovime sam odogovorio i na svoje pitanje oko vaznosti parnosti broja [inlmath]n[/inlmath] (tvoj odgovor zaista nisam razumeo).

Oko dokaza negativnosti si zaista zapetljao i ne vidim kako si dokazao negativnost (postojanje necega se mora i dokazati). Nacin koji sam ja mislio (primeti da nije sve isto kao kod tebe, jer limes funkcije [inlmath]g(x)[/inlmath] kad [inlmath]x\to a[/inlmath] ne zavisi od vrednosti funkcije u tacki [inlmath]a[/inlmath] (funkcija [inlmath]g[/inlmath] ne mora ni biti definisana u tacki [inlmath]a[/inlmath])):
[dispmath]\lim_{x \to x_0} \frac{f^{(n)}(x_0)}{x-x_0} = M \;\Longleftrightarrow\; (\forall \varepsilon >0)(\exists \delta >0)(\forall x)(x \in (x_0-\delta,x_0+\delta) \setminus \{x_0\} \;\Longrightarrow\; \biggl\vert \frac{f^{(n)}(x_0)}{x-x_0} - M\biggr\vert<\varepsilon)[/dispmath] Odatle imamo da je [inlmath]\displaystyle\frac{f^{(n)}(x_0)}{x-x_0} < \varepsilon + M[/inlmath]. Ako odaberemo [inlmath]0<\varepsilon < - M[/inlmath] (pri cemu je [inlmath]M[/inlmath] negativno, te je sve korektno) onda cemo imati neko [inlmath]\delta'[/inlmath] takvo da je [inlmath]\displaystyle\frac{f^{(n)}(x_0)}{x-x_0} < 0[/inlmath] za [inlmath]x \in (x_0-\delta',x_0+\delta') \setminus \{x_0\}[/inlmath].
 
Postovi: 613
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 588 puta


Povratak na TEJLOROV RED

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 1 gost


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Sreda, 02. Decembar 2020, 19:07 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs